如圖,AB是⊙O的直徑,BC為⊙O的切線(xiàn),D為⊙O上的一點(diǎn),CD=CB,延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.
(1)求證:CD為⊙O的切線(xiàn);
(2)若BD的弦心距OF=1,∠ABD=30°,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π)
(1)證明詳見(jiàn)解析;(2)陰影部分的面積為,理由詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析:本題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)、垂徑定理以及扇形的面積.解題時(shí)首先根據(jù)已知切線(xiàn)應(yīng)連接OD.(1)如圖,連接OD,只要求證OD⊥CE即可求解.由BC是⊙O的切線(xiàn),可得∠ABC=90°,又由CD=CB,OB=OD,易證得∠ODC=∠ABC=90°,即可證得CD為⊙O的切線(xiàn);
(2)在Rt△OBF中,∠ABD=30°,OF=1,可求得BD的長(zhǎng),∠BOD的度數(shù),又由S陰影=S扇形OBD-S△BOD,即可求得答案.
試題解析:
(1)證明:連接OD
∵BC是⊙O的切線(xiàn)
∴∠ABC=90°
∵CD=CB,
∴∠CBD=∠CDB
∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB
∴∠ODC=∠ABC=90°
即OD⊥CD
∴CD為⊙O的切線(xiàn)
(2)解:在Rt△OBF中,
∵∠ABD=30°,OF=1,
∴∠BOF=60°,OB=2,BF=
∵OF⊥BD,
∴BD=2BF=,∠BOD=2∠BOF=120°,
∴S陰影=S扇形OBD-S△BOD=.
考點(diǎn):1、切線(xiàn)的判定與性質(zhì);2、扇形面積的計(jì)算.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:初中數(shù)學(xué)解題思路與方法 題型:047
已知如圖,AB是半圓直經(jīng),△ACD內(nèi)接于半⊙O,CE⊥AB于E,延長(zhǎng)AD交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,求證:AC·CD=AD·FC.
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