Question

【題目】如圖，AD是⊙O的直徑，AB為⊙O的弦，OP⊥AD，OP與AB的延長線交于點P，點C在OP上，滿足∠CBP＝∠ADB．

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）若OA＝2，AB＝1，求線段BP的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BP＝7.

【解析】

（1）連接OB，如圖，根據圓周角定理得到∠ABD=90°，再根據等腰三角形的性質和已知條件證出∠OBC=90°，即可得出結論；

（2）證明△AOP∽△ABD，然后利用相似三角形的對應邊成比例求BP的長．

（1）證明：連接OB，如圖，

∵AD是⊙O的直徑，

∴∠ABD＝90°，

∴∠A+∠ADB＝90°，

∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵∠CBP＝∠ADB，

∴∠OBA+∠CBP＝90°，

∴∠OBC＝180°﹣90°＝90°，

∴BC⊥OB，

∴BC是⊙O的切線；

（2）解：∵OA＝2，

∴AD＝2OA＝4，

∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∵∠A＝∠A，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得：BP＝7．