求系數(shù)a、b、c間的關(guān)系式，使方程
ax2+bx+c=0
bx2+cx+a=0
cx2+ax+b=0
有實(shí)數(shù)解．
分析：先把①+②+③得出（a+b+c）（x2+x+1）=0，再根據(jù)x2+x+1=（x+
1
2
）2+
3
4
≠0，得出a+b+c=0，即可得出答案．
解答：解：
ax2+bx+c=0  ①
bx2+cx+a=0  ②
cx2+ax+b=0  ③
，
①+②+③得：
（a+b+c）x2+（a+b+c）x+（a+b+c）=0，
（a+b+c）（x2+x+1）=0，
∵x2+x+1=（x+
1
2
）2+
3
4
≠0，
∴a+b+c=0，
∴x=1為方程組的解，
∴a、b、c間的關(guān)系式是a+b+c=0時(shí)，方程組有實(shí)數(shù)解，其解為x=1．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了因式分解的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是因式分解，配方法，關(guān)鍵是通過(guò)因式分解和配方求出a+b+c=0．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理．
如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）．利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：
AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|

請(qǐng)你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求b2-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b2-4ac=
 
；
（3）設(shè)拋物線y=x2+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C，且∠ACB=90°，試問(wèn)如何平移此拋物線，才能使∠ACB=60°？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•蘭州）若x1、x2是關(guān)于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1、x2和系數(shù)a、b、c有如下關(guān)系：x1+x2=-
b
a
，x1•x2=
c
a
．把它稱為一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系定理．如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）．利用根與系數(shù)關(guān)系定理可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
(-
b
a
)2-
4c
a
=
b2-4ac
a2
=
b2-4ac
|a|
；
參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，求b2-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求b2-4ac的值．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根和系數(shù)有如下關(guān)系：. 我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理. 如果設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為.利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：

請(qǐng)你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題:
設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為，拋物線的頂點(diǎn)為，顯然為等腰三角形.
（1）當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，求
（2）當(dāng)為等邊三角形時(shí)，求

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2010年北京市大興區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷（解析版） 題型：解答題

（2010•大興區(qū)一模）若x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根，則方程的兩個(gè)根x1，x2和系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：．我們把它們稱為根與系數(shù)關(guān)系定理．
如果設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0）．利用根與系數(shù)關(guān)系定理我們又可以得到A、B兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為：
AB=|x1-x2|====
請(qǐng)你參考以上定理和結(jié)論，解答下列問(wèn)題：
設(shè)二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a＞0）的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A（x1，0），B（x2，0），拋物線的頂點(diǎn)為C，顯然△ABC為等腰三角形．
（1）當(dāng)△ABC為等腰直角三角形時(shí)，求b2-4ac的值；
（2）當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，b2-4ac=______；
（3）設(shè)拋物線y=x2+kx+1與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，頂點(diǎn)為C，且∠ACB=90°，試問(wèn)如何平移此拋物線，才能使∠ACB=60°？

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