已知函數(shù)y=(a+2)x2-2(a2-1)x+1,其中自變量x為正整數(shù),a也是正整數(shù),求x何值時,函數(shù)值最。
【答案】
分析:將函數(shù)解析式通過變形得配方式,其對稱軸為

,因

,

,故函數(shù)的最小值只可能在x取a-2,

時達(dá)到.所以,解決本例的關(guān)鍵在于分類討論.
解答:解:∵y=(a+2)x
2-2(a
2-1)x+1,
∴y=(a+2)

+1-

,其對稱軸為

,
因為a為正整數(shù),故因

,

,
因此,函數(shù)的最小值只能在x取a-2,a-1,

時達(dá)到,
(1)當(dāng)a-1=

時,a=1,此時,x=0使函數(shù)取得最小值,由于x是正整數(shù),故應(yīng)舍去;
(2)a-2<

<a-1時,即a>1時,由于x是正整數(shù),而

為小數(shù),故x=

不能達(dá)到最小值,
當(dāng)x=a-2時,y
1=(a+2)(a-2)
2-2(a
2-1)(a-2)+1,
當(dāng)x=a-1時,y
2=(a+2)(a-1)
2-2(a
2-1)(a-1)+1,
又y
1-y
2=4-a,
①當(dāng)4-a>0時,即1<a<4且a為整數(shù)時,x取a-1,使y
2為最小值;
②當(dāng)4-a=0時,即a=4時,有y
1=y
2,此時x取2或3;
③當(dāng)4-a<0時,即a>4且為整數(shù)時,x取a-2,使y
1為最小值;
綜上,

(其中a為整數(shù)).
點評:本題考查了二次函數(shù)的最值,難度較大,關(guān)鍵是用分類討論的思想進(jìn)行解題.