Question

已知：如圖，△ABC中，BC=7，高AD=3，∠B=45°，垂直于BC的動直線FM、GN分別從B、C兩點同時出發(fā)，向直線AD所在的位置平移，直到與AD重合為止．其中M、N為垂足，F(xiàn)、G是兩直線分別與AB、AC的交點．且在平移過程中始終保持FG∥BC，設(shè)FM=x．
（1）試用含x的代數(shù)式表示FG；
（2）若點E與點B關(guān)于FM成軸對稱，點H與點C關(guān)于GN成軸對稱，在平移過程中
①x為何值時，點E和點H重合？
②設(shè)點E、F、G、H圍成的四邊形的面積為S，若H運動到B停止，試寫出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由FC與BG平行，根據(jù)兩直線平行得出兩對同位角相等，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形AFG與三角形ABC相似，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)高之比等于相似比，得到一個比例式，把相應(yīng)的值代入即可用x表示出FG；
（2）由∠B=45°，AD與BC垂直，得到三角形ABD為等腰直角三角形，可得AD=BD=3，從而用BC-BD求出CD，再利用勾股定理求出AC，又三角形BFM為等腰三角形，由FM=x，表示出弧BE，根據(jù)一對直角相等，且一對公共角，得到三角形CGN與三角形CAD相似，根據(jù)相似得比例，把相應(yīng)的值代入，用x表示出CN，進而表示出CH，
①當(dāng)E與H重合時，由圖形得到BE+CH=7，把表示出的BE及CH代入列出關(guān)于x的方程，求出x的值即可；
②分兩種情況考慮：E在BD上和E在CD上，分別表示出EH，根據(jù)題意可知四邊形EFGH為梯形，再由FG，F(xiàn)M及表示出的EH，利用梯形的面積公式即可表示出四邊形的面積S，并求出相應(yīng)的x的范圍即可．

解答：解：（1）∵FG∥BC，
∴∠AFG=∠ABC，∠AGF=∠ACB，
∴△AFG∽△ABC，又AD⊥BC，則AD⊥FG，
∴

FG

BC

=

AP

AD

，又FM=PD=x，AD=3，BC=7，
∴

FG

7

=

3-x

3

，
∴FG=-

7

3

x+7；（3分）

（2）∵∠B=45°，AD⊥BC，
∴△ABD為等腰直角三角形，
∴AD=BD=3，CD=BC-BD=4，根據(jù)勾股定理得：AC=

AD2+CD2

=5，
又根據(jù)題意得：△BFM為等腰直角三角形，且FM=x，
∴BE=2BM=2FM=2x，
∵∠GNC=∠ADC=90°，且∠C=∠C，
∴△CGN∽△CAD，
∴

CN

CD

=

GN

AD

，又CD=4，AD=3，GN=FM=x，
∴CN=

4

3

x，
∴CH=2CN=

8

3

x，
①當(dāng)E與H重合時，則有BE+HC=2x+

8

3

x=7，解得x=

3

2

；（4分）
②當(dāng)E在BD上時，如圖1，
∵EH=7-2x-

8

3

x=7-

14

3

x，
∴S_{四邊形EFGH}=

1

2

（FG+EH）•FM=

1

2

（-

7

3

x+7+7-

14

3

x）•x=-

7

2

x²+7x（0＜x＜

3

2

）；（9分）
當(dāng)E在CD上時，如圖2，
∵CE=7-2x，BH=7-

8

3

x，
∴HE=7-（7-2x）-（7-

8

3

x）=

14

3

x-7，
∴S_{四邊形EFGH}=

1

2

（FG+HE）•FM=

1

2

（

14

3

x-7+7-

7

3

x）•x=

7

6

x²（

3

2

＜x≤

21

8

）．（12分）

點評：此題考查了相似三角形判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，對稱的性質(zhì)，以及梯形的面積公式，這是一道相似條件與特征同時考查的綜合性題，即在給定條件下探索出相似，再運用相似的特征解決問題，這類題由于所列函數(shù)關(guān)系式是面積函數(shù)，因此與梯形的底有密切的關(guān)系，所以要從已知條件下探索上底下底與x的關(guān)系成為解決問題的關(guān)鍵．相似時近幾年中考的熱點題型，因此解決這類問題時，應(yīng)注意挖掘題中的隱含條件，注意數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模、分類討論等數(shù)學(xué)思想的運用．