Question

一條拋物線y=x²+mx+n經(jīng)過點（0，3）與（4，3）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標；
（2）現(xiàn)有一半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標；
（3）⊙P能與兩坐標軸都相切嗎？如果不能，試通過上下平移拋物線y=x²+mx+n，使⊙P與兩坐標軸都相切．（要說明平移方法）

Answer 1

解：（1）∵拋物線過（0，3）（4，3）兩點，
∴
解得
∴拋物線的解析式是y=x²-4x+3，頂點坐標為（2，-1）．

（2）設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），
當⊙P與y軸相切時，有|x₀|=1，
∴x₀=±1．
由x₀=1，得y₀=1²-4+3=0；
由x₀=-1，得y₀=（-1）²-4（-1）+3=8．
此時，點P的坐標為P₁（1，0），P₂（-1，8）．
當⊙P與x軸相切時，有|y₀|=1，
∴y₀=±1．
由y₀=1，得x₀²-4x₀+3=1，解得；
由y₀=-1，得x₀²-4x₀+3=-1，解得x₀=2．
此時，點P的坐標為P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
綜上所述，圓心P的坐標為：P₁（1，0），P₂（-1，8），P₃（2-，1），P₄（2+，1），P₅（2，-1）．
注：不寫最后一步不扣分．

（3）由（2）知，不能．
設(shè)拋物線y=x²-4x+3上下平移后的解析式為y=（x-2）²-1+h，
若⊙P能與兩坐標軸都相切，則|x₀|=|y₀|=1，
即x₀=y₀=1；或x₀=y₀=-1；或x₀=1，y₀=-1；或x₀=-1，y₀=1．
取x₀=y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=1．
取x₀=-1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-9．
取x₀=1，y₀=-1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-1．
取x₀=-1，y₀=1，代入y=（x-2）²-1+h，得h=-7．
∴將y=x²-4x+3向上平移1個單位，或向下平移9個單位，或向下平移1個單位，或向下平移7個單位，就可使⊙P與兩坐標軸都相切．
分析：（1）因為拋物線過點（0，3）與（4，3），所以可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）設(shè)點P的坐標為（x₀，y₀），分當⊙P與y軸相切及與y軸相切兩種情況討論，分別求出P點的坐標；
（3）根據(jù)（2）中求出的P點坐標可知它們橫縱坐標的絕對值均不相同，故⊙P不能與兩坐標軸都相切．設(shè)出平移后的拋物線解析式，再根據(jù)圓與直線相切的特點列出方程即可求出未知數(shù)的值，從而求出函數(shù)的解析式．
點評：本題考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，及圓的相關(guān)性質(zhì)，比較復(fù)雜，是一道難度適中的題目．