已知△ABC與△ADE是等邊三角形,點(diǎn)B、A、D在一條直線(xiàn)上,∠CPN=60°交直線(xiàn)AE于點(diǎn)N;
(1)若點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上運(yùn)動(dòng)、(不與A、B重合)猜想線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系并證明;
(2)若點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)、(不與A、D重合),畫(huà)出圖形,猜想線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系;
(3)總結(jié):若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)、(不與A、B、D重合),線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系會(huì)保持不變嗎?

解:(1)如圖,在AC上截取AF=AP
∵AP=AF,∠BAC=60°,
∴△APF為等邊三角形,
∴PF=AP,
∵∠CPF+∠FPN=60°,∠FPN+∠NPA=60°,
∴∠CPF=∠APN,又∠PAN=∠PFC=120°
∴△PCF≌△PNA,
∴PC=PN;


(2)當(dāng)P在AD上時(shí),∠CPN的一邊PN交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,此時(shí)也有PC=PN
過(guò)P作AC的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,
∴∠F=∠BCA=60°,∠APF=∠BAC=60°,
∴∠F=∠APF,
∴CF=AP,
∵∠CPN=60°,
∴∠NPF=60°-∠FPC,
∵∠BPC=60°-∠CPF,
∴∠NPF=∠BPC,
∵∠F=∠PAN=60°,
∴∠FCP=∠APN=60°+∠APC,

在△PCF和△NPA中,
∴△PCF≌△NPA(AAS),
∴PC=PN;


(3)線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系保持不變;
無(wú)論點(diǎn)P在AB上哪個(gè)點(diǎn),都有△PCF≌△PNA,
∴PC,PN的數(shù)量關(guān)系不變.
分析:(1)在AC上截取AF=AP,可得△PCF≌△PNA,所以PC=PN;
(2)當(dāng)P在AD上時(shí),∠CPN的一邊PN交AE的延長(zhǎng)線(xiàn)于N,此時(shí)也有PC=PN過(guò)P作AC的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,由平行線(xiàn)的性質(zhì)可得出∠F=∠BCA=60°,故可得出∠F=∠APF,根據(jù)全等三角形的判定定理得出△PCF≌△NPA,由全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論;
(3)無(wú)論點(diǎn)P在AB上如何移動(dòng),都存在△PCF≌△PNA,所以他們的數(shù)量關(guān)系不變.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì);熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì),能夠利用全等三角形求解線(xiàn)段之間的關(guān)系,正確作出輔助線(xiàn)是解答本題的關(guān)鍵.
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(2)若點(diǎn)P在線(xiàn)段AD上運(yùn)動(dòng)、(不與A、D重合),畫(huà)出圖形,猜想線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系;
(3)總結(jié):若點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)、(不與A、B、D重合),線(xiàn)段PC、PN的數(shù)量關(guān)系會(huì)保持不變嗎?

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27、如圖所示,已知△ABC與△BDE都是等到邊三角形.下列結(jié)論:①AE=CD;②BF=BG;③BH⊥FG;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等邊三角形;⑥FG∥AD;⑦△ABF≌△CGB;⑧△EFB≌△GBD,其中正確的有
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