Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC．將△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合．
（1）點C是否在以AB為直徑的圓上？請說明理由；
（2）當AB=4時，求此梯形的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MC，根據對折前后的兩個角完全重合，利用角的關系證明AD∥MC，然后證明出四邊形AMCD是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等得到AM=CD，從而得到AM=MC，又點M是AB的中點，所以AM=MC=MB，從而得證；
（2）先證明△BCM是等邊三角形，然后求出等邊三角形BM邊上的高，再利用梯形的面積公式列式計算即可．
解答：解：（1）點C在以AB為直徑的圓上．
理由如下：連接MC，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
∵∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠MCA，
∴∠DAC=∠MCA，
∴AD∥MC，
∴四邊形AMCD是平行四邊形，
∴AM=CD，
∵△ACD沿對角線AC翻折后，點D恰好與邊AB的中點M重合，
∴DC=MC，
∴AM=MC，
∵點M是AB的中點，
∴AM=BM，
∴AM=MC=BM，
∴點C在以AB為直徑的圓上；

（2）由（1）得四邊形AMCD是平行四邊形，
∴AD=MC，
∵AD=BC，
∴MC=BC，
∴△BCM是等邊三角形，
∵AB=4，
∴BC=BM=AB=2，
過點C作CE⊥MB，垂足為E，
則BE=MB=1，
由勾股定理得，CE===，
∴梯形ABCD的面積=（2+4）×=3．
點評：本題主要考查了等腰梯形的性質，平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合性較強，作出輔助線把梯形的問題轉化為平行四邊形與的問題是解題的關鍵．