Question

【題目】如圖1，已知A、B、C是⊙O上的三點(diǎn)，AB＝AC，∠BAC＝120°．

（1）求證：⊙O的半徑R＝AB；

（2）如圖2，若點(diǎn)D是∠BAC所對(duì)弧上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DA，DB，DC．

①探究DA，DB，DC三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若AB＝3，點(diǎn)C'與C關(guān)于AD對(duì)稱，連接C'D，點(diǎn)E是C'D的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①CD+BD＝AD，見解析，②2π

【解析】

（1）連接OA，OB，OC，由“SSS”可證△OAB≌△OAC，可得∠BAO＝∠CAO＝60°，可證△ABO是等邊三角形，可得結(jié)論；

（2）將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACH，過點(diǎn)A作AN⊥CH于N，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，可證點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線，由直角三角形的性質(zhì)可求解；

（3）先確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，利用弧長(zhǎng)公式可求解．

證明：（1）如圖1，連接OA，OB，OC，

∵AB＝AC，OB＝OC，OA＝OA，

∴△OAB≌△OAC（SSS），

∴∠BAO＝∠CAO，

又∵∠BAC＝120°，

∴∠OAB＝60°＝∠OAC，

∴△ABO是等邊三角形，

∴⊙O的半徑R＝AB；

（2）CD+BD＝AD，

理由如下：如圖2，將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△ACH，過點(diǎn)A作AN⊥CH于N，

∴BD＝CH，AD＝AH，∠DAH＝120°，∠ABD＝∠ACH，

∵四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠ABD+∠ACD＝180°，

∴∠ACD+∠ACH＝180°，

∴點(diǎn)D，點(diǎn)C，點(diǎn)H三點(diǎn)共線，

∵AD＝AH，∠DAH＝120°，AN⊥CH，

∴∠AHD＝∠ADH＝30°，HN＝DN＝DH，

∴AD＝2AN，DN＝AN，

∴HD＝AN＝AD，

∴CD+CH＝CD+BD＝AD；

（3）如圖3，連接BC，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，連接CC'，CE，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AM⊥BC，AB＝3，

∴∠ABC＝∠ACB＝30°，

∴AM＝，BM＝AM＝，

∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∠ADC＝∠ABC＝30°，

∴∠ADB＝∠ADC，

∴點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱點(diǎn)C'在BD上，

∴CD＝C'D，

又∵∠CDC'＝60°，

∴△CDC'是等邊三角形，

∵點(diǎn)E是C'D的中點(diǎn)，

∴CE⊥BD，

∴點(diǎn)E在以BC為直徑的圓上，

當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)D重合時(shí)，

∵E'M＝BM＝CM，

∴∠MCE'＝∠ME'C＝30°，

∴∠BME'＝60°，

當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E也與點(diǎn)C重合，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)＝＝2π．