Question

【題目】（生活常識）

射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等。如圖 1，MN 是平面鏡，若入射光線 AO 與水平鏡面夾角為∠1，反射光線 OB 與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2 .

（現(xiàn)象解釋）

如圖 2，有兩塊平面鏡 OM，ON，且 OM⊥ON，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線 CD.求證 AB∥CD.

（嘗試探究）

如圖 3，有兩塊平面鏡 OM，ON，且∠MON =55 ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線 CD，光線 AB 與 CD 相交于點 E，求∠BEC 的大小.

（深入思考）

如圖 4，有兩塊平面鏡 OM，ON，且∠MON α ，入射光線 AB 經過兩次反射，得到反射光線 CD，光線 AB 與 CD 所在的直線相交于點 E，∠BED=β , α 與 β 之間滿足的等量關系是 .（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】【現(xiàn)象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC 70；【深入思考】 2.

【解析】

[現(xiàn)象解釋]根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可證得AB∥CD；

[嘗試探究]根據三角形內角和定理求得∠2+∠3=125°，根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根據三角形內角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；

[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性質∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可證得β=2α．

[現(xiàn)象解釋]

如圖2，

∵OM⊥ON，

∴∠CON=90°，

∴∠2+∠3=90°

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠DCB+∠ABC=180°，

∴AB∥CD；

【嘗試探究】

如圖3，

在△OBC中，∵∠COB=55°，

∴∠2+∠3=125°，

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，

∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，

∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，

∴∠BEC=180°-110°=70°；

【深入思考】

如圖4，

β=2α，

理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，

∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，

∵∠BOC=∠3-∠2=α，

∴β=2α．