Question

在△ABC中，已知AB＞AC，AD平分∠BAC交BC于點D，點E在DC的延長線上，且

DE

BD

=k，過E作EF∥AB交AC的延長線于F．
（1）如圖1，當(dāng)k=1時，求證：AF+EF=AB；
（2）如圖2，當(dāng)k=2時，直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足得數(shù)量關(guān)系：

 

；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AE，若AB=9，tan∠DAF=

1

2

，AE=2

17

，且AF＞EF，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（1）延長AD、EF交于點G，當(dāng)k=1時，DE=BD，再根據(jù)∠BDA=∠EDG，BD=ED，證出△ABD≌△GED，得出AB=GE，又因為∠BAD=∠DAC，所以∠FGD=∠DAC，AF=GF，
即可證出AF+EF=AB；
（2）當(dāng)k=2時，根據(jù)（1）即可直接寫出線段AF、EF、AB之間滿足得數(shù)量關(guān)系；
（3）延長AD、EF交點為G，由（1）（2）可知GE=18，過點A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，

AH

GH

=

1

2

，所以GH=2AH，設(shè)AH=x，則GH=2x，HE=18-2x，在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+(18-2x)2=(2

17

)2，解得x1=8，x2=

32

5

，當(dāng)AH=8時，在Rt△AFH中，8²+a²=（16-a）²，解得a=6，AF=10，EF=8，成立，當(dāng)AH=

32

5

時，因為AF＞EF，此種情況不成立，因為EF∥AB，所以∠ABC=∠FEC，又因為∠ACB=∠FCE，可以得出△ABC∽△FEC，所以

AB

FE

=

AC

FC

即

9

8

=

AC

10-AC

，即可求出AC的值．

解答：（1）證明：延長AD、EF交于點G，
當(dāng)k=1時，DE=BD
∵EF∥AB，∴∠BAD=∠EGD，
又∵∠BDA=∠EDG，BD=ED，
∴△ABD≌△GED，
∴AB=GE，
又∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠FGD=∠DAC，
∴AF=GF，
∴AF+EF=AB

（2）解：根據(jù)（1）可得線段AF、EF、AB之間滿足數(shù)量關(guān)系：AF+EF=2AB；

（3）解：延長AD、EF交點為G．
由（1）（2）可知：FG+EF=2AB=18，即GE=18．
過點A作AH⊥GE，在Rt△AGH中，tan∠G=tan∠DAF=

1

2

．
即

AH

GH

=

1

2

∴GH=2AH
設(shè)AH=x，則GH=2x，HE=18-2x，
在Rt△AEH中，由勾股定理可得x²+(18-2x)2=(2

17

)2，解得x1=8，x2=

32

5

，
當(dāng)AH=8時，GH=16，設(shè)FH=a，則AF=16-a，在Rt△AFH中，
由勾股定理可得：8²+a²=（16-a）²，
解得a=6，AF=10，EF=8，成立．
當(dāng)AH=

32

5

時，同理可求FH=4.8，AF=8，EF=10．
∵AF＞EF，∴此種情況不成立．
∵EF∥AB，∴∠ABC=∠FEC，又∵∠ACB=∠FCE．
∴△ABC∽△FEC，
∴

AB

FE

=

AC

FC

即

9

8

=

AC

10-AC

∴AC=

90

17

．

點評：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出方程，要注意的是（3）中，要進行分類求解．