Question

【題目】如圖，直線y=﹣ x+6分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線y=﹣ x2+8，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線在第一象限部分上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸于點(diǎn)C．

（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ， 點(diǎn)D的坐標(biāo)為；
（2）探究發(fā)現(xiàn)：
①假設(shè)P與點(diǎn)D重合，則PB+PC=；（直接填寫答案）
②試判斷：對(duì)于任意一點(diǎn)P，PB+PC的值是否為定值？并說(shuō)明理由；
（3）試判斷△PAB的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（4,0）,（0,8）
（2）PB+PC=10,是,理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥y軸于點(diǎn)Q,∵P在拋物線上,且在第一象限,∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x,﹣ x2+8）．則PQ=x,PC=﹣ x2+8．當(dāng)4≤x＜8時(shí),PB= = x2+2,∴PB+PC= x2+2+（﹣ x2）+8=10,當(dāng)0＜x＜4時(shí),同理可得；
（3）△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6， ）

解：存在．

設(shè)△PAB的面積為S．

由（2）假設(shè)．

當(dāng)4≤x＜8時(shí)，有S=

=﹣ x2+3x+4=﹣ （x﹣6）2+13．

當(dāng)0＜x＜4時(shí)，s=﹣ （x﹣6）2+13．

當(dāng)x=6時(shí)，S最大=13，y=﹣ ×36+8= ，

∴△PAB的面積存在最大值，且最大值為13，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6， ）

【解析】

解：（1）y=﹣ x+6當(dāng)y=0時(shí)，x=4，即A（4，0），

y=﹣ x2+8當(dāng)x=0時(shí)，y=8，即D點(diǎn)坐標(biāo)（0，8），

所以答案是：（4，0），（0，8）；（2）①PB=PO﹣OB=8﹣6=2，PB+PC=8+2=10；