Question

已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，按以下要求解答問題：
（1）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與邊OA，OB交于點C，D．
①在圖甲中，證明：PC=PD；
②在圖乙中，點G是CD與OP的交點，且PG=PD，求△POD與△PDG的面積之比；
（2）將三角板的直角頂點P在射線OM上移動，一直角邊與邊OB交于點D，OD=1，另一直角邊與直線OA，直線OB分別交于點C，E，使以P，D，E為頂點的三角形與△OCD相似，在圖丙中作出圖形，試求OP的長．

Answer 1

解：（1）①證明：過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，得∠HPN=90°
∴∠HPC+∠CPN=90°
∵∠CPN+∠NPD=90°
∴∠HPC=∠NPD
∵OM是∠AOB的平分線
∴PH=PN
又∵∠PHC=∠PND=90°
∴△PCH≌△PDN
∴PC=PD
②∵PC=PD
∴∠PDG=45°
∵∠POD=45°
∴∠PDG=∠POD
∵∠GPD=∠DPO
∴△POD∽△PDG
∴．

（2）①若PC與邊OA相交，
∵∠PDE＞∠CDO
令△PDE∽△OCD
∴∠CDO=∠PED
∴CE=CD
∵CO⊥ED
∴OE=OD
∴OP=ED=OD=1
②若PC與邊OA的反向延長線相交
過P作PH⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為H，N，
∵∠PED＞∠EDC
令△PDE∽△ODC
∴∠PDE=∠ODC
∵∠OEC=∠PED
∴∠PDE=∠HCP
∵PH=PN，Rt△PHC≌Rt△PND
∴HC=ND，PC=PD
∴∠PDC=45°
∴∠PDO=∠PCH=22.5°
∴∠OPC=180°-∠POC-∠OCP=22.5°
∴OP=OC．設(shè)OP=x，則OH=ON=
∴HC=DN=OD-ON=1-
∵HC=HO+OC=+x
∴1-=+x
∴x=
即OP=
分析：（1）①可通過構(gòu)建全等三角形來求解；②可根據(jù)相似比來求面積比．
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)C在OA上上時；②當(dāng)C在OA延長線上時；
點評：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，根據(jù)三角形相似或全等得出線段之間以及角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．