Question

（2013•鹽城模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在第一象限，點B在x軸的正半軸上，∠OAB=90°．⊙P₁是△OAB的內(nèi)切圓，且P₁的坐標(biāo)為（3，1）．
（1）OA的長為

4

，OB的長為

5

；
（2）點C在OA的延長線上，CD∥AB交x軸于點D．將⊙P₁沿水平方向向右平移2個單位得到⊙P₂，將⊙P₂沿水平方向向右平移2個單位得到⊙P₃，按照同樣的方法繼續(xù)操作，依次得到⊙P₄，…⊙P_n．若⊙P₁，⊙P₂，…⊙P_n均在△OCD的內(nèi)部，且⊙P_n恰好與CD相切，則此時OD的長為

2n+3

．（用含n的式子表示）

Answer 1

分析：（1）作P₁H₁⊥OB于H₁，P₁Q⊥AO于Q，P₁E₁⊥AB于E₁，根據(jù)圓的切線性質(zhì)和切線長定理得到P₁H₁=P₁Q=P₁E=1，OQ=OH₁=3，BH₁=BE，易得四邊形AQP₁E為正方形，
則AQ=AW=P₁Q=1，所以AO=4，然后利用勾股定理可計算出BH₁=2，從而可計算出OB=5；
（2）作P_nH_n⊥OB于H_n，P_nE_n⊥CD于E_n，根據(jù)題意得H₁H_n=P₁P_n=2（n-1），由AB∥CD得∠OBA=∠ODC，根據(jù)切線長定理得∠H₁BP₁=

1

2

∠OBA，∠H_nDP_n=

1

2

∠ODC，
根據(jù)“AAS”可判斷△H₁BP₁≌△H_nDP_n，則BH₁=DH_n=2，然后利用OD=OH₁+H₁H_n+DH_n進行計算即可．

解答：解：（1）作P₁H₁⊥OB于H₁，P₁Q⊥AO于Q，P₁E₁⊥AB于E₁，如圖，
∵⊙P₁是△OAB的內(nèi)切圓，且P₁的坐標(biāo)為（3，1）．
∴P₁H₁=P₁Q=P₁E=1，OQ=OH₁=3，BH₁=BE，
∵∠OAB=90°，
∴四邊形AQP₁E為正方形，
∴AQ=AW=P₁Q=1，
∴AO=OQ+AQ=3+1=4，
在Rt△ABO中，OB²=OA²+AB²，
∴（3+BH₁）²=4²+（1+BH₁）²，解得BH₁=2，
∴OB=OH₁+BH₁=3+2=5；
（2）作P_nH_n⊥OB于H_n，P_nE_n⊥CD于E_n，如圖，
∵P₁P_n=2（n-1），
∴H₁H_n=2（n-1），
∵AB∥CD，
∴∠OBA=∠ODC，
∵⊙P₁是△OAB的內(nèi)切圓，⊙P_n與CD相切，
∴∠H₁BP₁=

1

2

∠OBA，∠H_nDP_n=

1

2

∠ODC，
在△H₁BP₁和△H_nDP_n中

∠P1H1B=∠PnHnD ∠P1BH1=∠PnDHn P1H1=PnHn

，
∴△H₁BP₁≌△H_nDP_n（AAS），
∴BH₁=DH_n=2，
∴OD=OH₁+H₁H_n+DH_n=3+2（n-1）+2=2n+3．
故答案為4，5；2n+3．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練運用圓的切線性質(zhì)和切線長定理進行幾何證明；會運用勾股定理進行幾何計算；常用三角形全等解決線段相等的問題．