Question

如圖，點A（m，m＋1），B（m＋1，2m－3）都在反比例函數(shù)的圖象上．

（1）求m，k的值； 

（2）如果M為x軸上一點，N為y軸上一點， 以點A，B，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，試求直線MN的函數(shù)表達式．

 

Answer 1

【答案】

（1）m＝3，k＝12；（2）或

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點的坐標的特征可得，即可求得結(jié)果；

（2）存在兩種情況，①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解即可.

（1）由題意可知，

解得m₁＝3，m₂＝－1（舍去）

∴A（3，4），B（4，3）；

∴k＝4×3＝12；

（2）存在兩種情況，如圖：

 

①當M點在x軸的正半軸上，N點在y軸的正半軸上時，設M₁點坐標為（x₁，0），N₁點坐標為（0，y₁）．

∵四邊形AN₁M₁B為平行四邊形，

∴線段N₁M₁可看作由線段AB向左平移3個單位，再向下平移3個單位得到的

由（1）知A點坐標為（3，4），B點坐標為（4，3），

∴N₁點坐標為（0，1），M₁點坐標為（1，0）

設直線M₁N₁的函數(shù)表達式為，把x＝1，y＝0代入，解得．

∴直線M₁N₁的函數(shù)表達式為；

②當M點在x軸的負半軸上，N點在y軸的負半軸上時，設M₂點坐標為（x₂，0），N₂點坐標為（0，y₂）． 

∵AB∥N₁M₁，AB∥M₂N₂，AB＝N₁M₁，AB＝M₂N₂，

∴N₁M₁∥M₂N₂，N₁M₁＝M₂N₂．   

∴線段M₂N₂與線段N₁M₁關于原點O成中心對稱．

∴M₂點坐標為（-1，0），N₂點坐標為（0，-1）．

設直線M₂N₂的函數(shù)表達式為，把x＝-1，y＝0代入，解得，

∴直線M₂N₂的函數(shù)表達式為 

所以，直線MN的函數(shù)表達式為或．

考點：反比例函數(shù)的綜合題

點評：此類問題難度較大，在中考中比較常見，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.