Question

某商場(chǎng)試銷一種成本為每件60元的服裝，經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）符合一次函數(shù)y=kx+b，且x=65時(shí)，y=55；x=75時(shí)，y=45．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式；
（2）若該商場(chǎng)獲得利潤(rùn)為W元，試寫出利潤(rùn)W與銷售單價(jià)x之間的關(guān)系式；
（3）若該商場(chǎng)想獲得500元的利潤(rùn)且盡可能地?cái)U(kuò)大銷售量，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？
（4）銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是多少元？

Answer 1

分析：（1）把x=65，y=55；x=75，y=45代入y=kx+b中，列方程組求k、b的值即可；
（2）根據(jù)利潤(rùn)W=（x-60）×銷售量y，列出函數(shù)關(guān)系式；
（3）利用（2）的函數(shù)關(guān)系式，列方程求出當(dāng)w=500時(shí)，銷售單價(jià)x的值；
（4）利用（2）的函數(shù)關(guān)系式，配方成頂點(diǎn)式，可求最大利潤(rùn)．

解答：解：（1）根據(jù)題意得

65k+b=55 75k+b=45.

解得k=-1，b=120．
所求一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x+120．（3分）

（2）W=（x-60）•（-x+120）=-x²+180x-7200=-（x-90）²+900，（6分）

（3）由W=500，得500=-x²+180x-7200，
整理得，x²-180x+7700=0，解得，x₁=70，x₂=110．
因?yàn)橐M量擴(kuò)大銷售量，所以當(dāng)x=70時(shí)，銷售利潤(rùn)為500元．（8分）

（4）∵拋物線的開口向下，
∴當(dāng)x=90時(shí)，w有最大值，此時(shí)w=900，
∴當(dāng)銷售單價(jià)定為90元時(shí)，商場(chǎng)可獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)是900元．（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．