Question

如圖，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，P（a，b）是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)圖象上的一動點，PE⊥x軸于點E，PF⊥y軸于點F，分別交線段AB于M、N
（1）點P在運動過程中，四邊形OEPF能否為正方形？若能求出此時點P的坐標和∠MON度數(shù)，若不能，請說明理由．
（2）點P在運動過程中，AN•BM的值是否發(fā)生變化？若不變，求出AN•BM的值；若變化，求出AN•BM的值的變化范圍．

Answer 1

解：（1）當a=b時，四邊形OEPF是正方形，
則ab=，故a²=，
∵a＞0，
∴解得：a=，
∴P（，），
∵M，N是直線y=-x+1上的兩點，OE=，
∴ME=y=-+1=，
=-x+1，則FN=x=1-=，
∴M（，），N（，），
將△OEM繞O逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△OFM'，
則NM'=FM'+FN=2FN=2-，
PM=PE-ME=-=-1，
PN=FP-FN=-=-1，
∴MN===2-，
∴NM'=MN，
在△ONM和△ONM'中，
，
∴△ONM≌△ONM'（SSS），
∴∠MON=∠MON'=∠AOB=45°；

（2）過M作MC⊥y軸于C，過N作ND⊥x軸于D，
∵直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于A、B兩點，
∴y=0時，x=1，x=0時，y=1，
∴A點坐標為：（1，0），B點坐標為：（0，1），
∴AO=BO，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴AN=ND=b，BM=MC=a，
∵P（a，b）是反比例函數(shù)y=在第一象限內(nèi)圖象上的一動點，
∴2xy=1，則2ab=1，
∴AN•BM=2ab=1．
∴AN•BM為定值．
分析：（1）利用正方形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)得出ab=，進而得出a的值，即可得出P點坐標，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及直線上點的坐標特點得出M，N的坐標，再利用全等三角形的性質(zhì)得出∠MON=∠MON'=∠AOB=45°．
（2）利用已知一次函數(shù)解析式得出A，B坐標，進而得出△OAB的形狀，進而得出AN=ND=b，BM=MC=a，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得出即可．
點評：此題主要考查了反比例函數(shù)綜合應用以及全等三角形的性質(zhì)與判定和正方形的性質(zhì)等知識，利用已知圖形表示出AN，BM的長是解題關鍵．