Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任意兩點(diǎn)，,若點(diǎn)滿足，，則稱點(diǎn)為點(diǎn)，的衍生點(diǎn).

（1）求點(diǎn)，的衍生點(diǎn)；

（2）如圖，已知是直線上的一點(diǎn)，，點(diǎn)是，的衍生點(diǎn).

①求與的函數(shù)關(guān)系式；

②若直線與軸交于點(diǎn)，是否存在以為直角邊的，若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn),的衍生點(diǎn)是；（2）①；②存在以為直角邊的,此時(shí)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)是或.

【解析】

（1）根據(jù)衍生點(diǎn)的定義即可求出答案；

（2）①先根據(jù)直線設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)衍生點(diǎn)的定義求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后化簡(jiǎn)即可得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖（見解析），分PQ是另一直角邊和PA是另一直角邊兩種情況討論，設(shè)點(diǎn)B或點(diǎn)P的坐標(biāo)，再根據(jù)衍生點(diǎn)的定義建立等式求解即可.

（1）由衍生點(diǎn)的定義得：

故點(diǎn),的衍生點(diǎn)是；

（2）①由題意設(shè)：

∵點(diǎn)是點(diǎn)的衍生點(diǎn)

∴,

則

∴

故y與x的函數(shù)關(guān)系式為；

②存在，求解點(diǎn)B的坐標(biāo)過程如下：

如圖1，當(dāng)PQ是另一直角邊時(shí)

此時(shí)，

由①的結(jié)論，設(shè)，則點(diǎn)

由點(diǎn)是點(diǎn)的衍生點(diǎn)得：，

解得：

則

故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

如圖2，當(dāng)PA是另一直角邊時(shí)

此時(shí)，

因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為

所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，代入得：

則點(diǎn)P的坐標(biāo)為

設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為

由點(diǎn)是點(diǎn),的衍生點(diǎn)得：，

解得：

則

故此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

綜上，存在以為直角邊的，此時(shí)滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)為或.