Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O為斜邊AB上一點，以O為圓心、OA為半徑的圓恰好與BC相切于點D，與AB的另一個交點為E，連接DE．

（1）請找出圖中與△ADE相似的三角形，并說明理由；

（2）若AC＝3，AE＝4，試求圖中陰影部分的面積；

（3）小明在解題過程中思考這樣一個問題：如圖中的⊙O的圓心究竟是怎么確定的呢？請你在如圖中利用直尺和圓規(guī)找到符合題意的圓心O，并寫出你的作圖方法．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)π－;(3)見解析.

【解析】

（1）BC為圓O的切線，連接OD，可推出∠EAD=∠ODA=∠DAC，由∠EDA=∠DCA=90°，可推出△AED∽△ADC．
（2）根據(jù)△AED∽△ADC，可得出AD的長度，再根據(jù)△AED的三邊比例關(guān)系，可推出∠AOD=120，再利用扇形面積減三角形的面積即可得到陰影部分面積．
（3）①作∠BAC的角平分線交BC邊于點D，②過點D作BC的垂線交AB于點O．（注：方法不唯一）

解：（1）△ACD與△ADE相似，如圖（1）所示，

連接OD，∵⊙O恰好與BC相切于點D，
∴∠ODB=90°，
又∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠ODA=∠DAC，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD=∠DAC，
∵AE為⊙O的直徑，
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠C，
∴△ACD∽△ADE．
（2）∵△ACD∽△ADE，
∴，
∴AD=2，
∵AC=3，根據(jù)勾股定理得CD=，
∴sin∠DAC=，
∴∠DAC=∠EAD=∠ODA=30°，
∴∠AOD=120°，
∴S△OAD=OA2=，
∴S=．
（3）如圖2所示，作圖方法：
①以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于點H，以H、C為圓心，大于CH長為半徑畫弧，交于點G，連接AG，AG即為∠BAC的角平分線，AG與BC的交點即為點D．
②以D為圓心，DC長為半徑畫弧，交BD于點C′，以C、C′為圓心，大于CC′為半徑畫弧，分別交于點E、F，連接EF，EF即為CC′的垂直平分線，EF與AB的交點即為點O．