Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，將函數(shù)為常數(shù))的圖象記為圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為．

（1）若點(diǎn)在圖象上，求的值；

（2）求的最小值；

（3）當(dāng)直線的圖象與函數(shù)為常數(shù))的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求的取值范圍；

（4）若點(diǎn)在圖象上，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上時(shí)，以點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造矩形使點(diǎn)落在軸上.當(dāng)圖象與矩形的邊有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直接寫出的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）y0的最小值為；（3）m的取值范圍是，m＞2或m≤0；（4）當(dāng)m＞0時(shí)，若拋物線與矩形有2個(gè)交點(diǎn)，或．

【解析】

（1）把代入：即可得到答案；

（2）把代入：，得到：根據(jù)的取值范圍可得答案；

（3）由函數(shù) (m為常數(shù))的對(duì)稱軸為： 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 界點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖像分情況討論即可得到答案；

（4）分情況討論：先求解當(dāng)m+1=2m，此時(shí)，①當(dāng)0＜m＜1時(shí)，再根據(jù)界點(diǎn)在的上下方，可得的范圍，② 當(dāng)m＞1時(shí)，若點(diǎn)A在x軸上，則，討論當(dāng)1＜m＜時(shí)的交點(diǎn)情況，③ 當(dāng)m＞時(shí)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，若有兩個(gè)交點(diǎn)，還需滿足界點(diǎn)在BC下方，結(jié)合函數(shù)圖像可得答案，最后綜合以上情況可得的范圍．

解：（1）把代入：

；

（2） (m為常數(shù))，

，

當(dāng)m＞0時(shí)，a=3＞0， y0有最小值，時(shí)，y0的最小值為，

當(dāng)時(shí)，，因此，y0的最小值為．

（3）函數(shù) (m為常數(shù))的對(duì)稱軸為：

頂點(diǎn)坐標(biāo)為

如圖：當(dāng)過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，

，

當(dāng)m＞0時(shí)，

當(dāng)時(shí)，界點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)界點(diǎn)在直線時(shí)，

（舍去），

此時(shí)，直線在界點(diǎn)的下方，

＜

＞，

＞，

＞，

＞，且＞，

＞，

此時(shí)，直線的圖象與函數(shù)為常數(shù))的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，＞，

當(dāng)＜時(shí)，界點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)界點(diǎn)在直線的上方時(shí)，

＜

＞，

＞，

＜，

＜且＜，

解得：＜，

此時(shí)，直線的圖象與函數(shù)為常數(shù))的圖像只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則＜，

綜上，m的取值范圍是， m＞2或m≤0．

（4）當(dāng)m+1=2m，m=1，所以，

① 0＜m＜1時(shí)，此時(shí)，界點(diǎn)坐標(biāo)為：

當(dāng)頂點(diǎn)在邊AD上方，若有兩個(gè)交點(diǎn)，還需滿足界點(diǎn)在AD下方，

解得：

≤m＜1．

同時(shí)，也說(shuō)明當(dāng)0＜m＜時(shí)，界點(diǎn)在AD上方，只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求．

② 當(dāng)m＞1時(shí)，

若點(diǎn)A在x軸上，

則．（舍去）

當(dāng)1＜m＜時(shí)，函數(shù)圖像在矩形的右下方，只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足要求．

③ 當(dāng)m＞時(shí)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的上方，若有兩個(gè)交點(diǎn)，還需滿足界點(diǎn)在BC下方，

關(guān)于軸對(duì)稱，

利用圖像法得：

所以， ＜m≤．

綜上，當(dāng)m＞0時(shí)，若拋物線與矩形有2個(gè)交點(diǎn)，則≤m＜1 或＜m≤．