Question

已知關(guān)于x的方程．

（1）求證：方程恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）若此方程的一個(gè)根是3，請(qǐng)求出方程的另一個(gè)根，并求以此兩根為邊長(zhǎng)的直角三角形的周長(zhǎng).

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見(jiàn)解析；（2）4＋或4＋.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0的根的判別式的符號(hào)來(lái)證明結(jié)論；（2）根據(jù)一元二次方程的解的定義求得m值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根，分類(lèi)討論：①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是2、3時(shí)，②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是2、3時(shí)，由勾股定理求出得該直角三角形的另一邊，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算.

試題解析：（1）∵△=（m＋2）²－4（2m－1）=（m－2）²＋4，

∴在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，m無(wú)論取何值，（m－2）²+4≥4＞0，即△＞0.

∴關(guān)于x的方程x²－（m＋2）x＋（2m－1）=0恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

（2）∵此方程的一個(gè)根是3，∴3²－3×（m＋2）＋（2m－1）=0，解得，m=2.

則方程的另一根為：m＋2－3=1.

①當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是1、3時(shí)，由勾股定理得斜邊的長(zhǎng)度為，該直角三角形的周長(zhǎng)為1＋3＋=4＋；

②當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是1、3時(shí)，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長(zhǎng)為1＋3＋=4＋.

考點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系；2.一元二次方程的解；3.勾股定理；4.分類(lèi)思想的應(yīng)用.