Question

【題目】實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器(容器足夠高)，底面半徑之比為1∶2∶1，用兩個相同的管子在容器的5 cm高度處連通(即管子底離容器底5 cm)，現三個容器中，只有甲中有水，水位高1 cm，如圖所示．若每分鐘同時向乙和丙注入相同量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升cm.

(1)開始注水1分鐘，丙的水位上升________cm；

(2)開始注入________分鐘的水量后，乙的水位比甲高0.5 cm.

Answer 1

【答案】 或

【解析】（1）根據題意可知，進入乙丙中的水的體積相等，而乙丙的底面積半徑之比為2:1，結合圓柱的體積公式即可求出乙丙的水位之比，進而求解題（1）；

欲求解乙的水位比甲高0.5cm，需要分甲的水位不變和乙的水位到達管子底部，（2）甲的水位上升兩種情況討論，可現設出未知數，即開始注入t分鐘水后滿足條件；當甲的水位不變時，需要判斷丙的水位是否到達管子底部，有沒有向乙溢水，根據題意可列出t-1=0.5，解出t并求出此時丙中水位，若丙中水位大于5則溢出，若小于5則沒有溢出；解得丙中水向乙中溢出水，而甲中水位不變根據兩者之差為0.5cm即可列出一元一次方程求解即可；第二種情況，需先求出乙的水位到達管子底部的時間，進而根據甲乙兩者的水位差為0.5cm的等量關系列出一元一次方程求解.

（1）∵向乙和丙注入相同量的水即注入水的體積相同，而他們的底面半徑之比為2:1，

根據圓柱的體積公式可知乙、丙的水位之比為：1:4.

∵當注水1分鐘，乙的水位上升cm，

∴注水1分鐘，丙的水位上升×4=cm.

（2）設開始注入t分鐘的水量后，乙的水位比甲高0.5cm，有兩種情況：

①當甲的水位不變時，

∵t-1=0.5，

解得t=，

∵×=6＞5，

∴此時丙容器已向甲容器溢水.

∵5÷=（分鐘），×=（cm），即經過32分鐘丙容器的水到達管子底部，乙的水位上升cm，

∴+2× (t-)-1=0.5，解得t=.

②當乙的水位到達管子底部，甲的水位上升時，

∵乙的水位到達管子底部的時間為：+(5-)÷÷2=（分鐘），

∴5-1-2× (t-)=0.5，

解得t=.

綜上所述開始注水或分鐘后，乙的水位比甲高0.5cm.