Question

已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點F．
求證：BF=AC．

Answer 1

【答案】分析：由已知條件“∠ABC=45°，CD⊥AB”可推知△BCD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質知：∠DCB=∠ABC
=45°、DB=DC；然后由已知條件“BE⊥AC”求證∠ABE=∠ACD；再利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，從而得出BF=AC．
解答：證明：∵CD⊥AB，
∴∠BDC=∠CDA=90°；
∵∠ABC=45°，
∴∠DCB=∠ABC=45°（三角形的內角和定理），
∴DB=DC（等角對等邊）；
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠A+∠ABE=90°（直角三角形的兩個銳角互為余角）；
∵∠CDA=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠ABE=∠ACD（同角的余角相等）；
在△BDF和△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC（全等三角形的對應邊相等）．
點評：本題考查三角形全等的判定與性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．在復雜的圖形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并應用此點．