Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為C（1，4），交x軸于A，B兩點，交y軸于點D，其中點B的坐標為（3，0）

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，設E是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，過點E作x軸的平行線交拋物線于另一點F，過點F作FG垂直于x軸于點G，再過點E作EH垂直于x軸于點H，得到矩形EFGH．則在點E的運動過程中，當矩形EFGH為正方形時，求出該正方形的邊長；
（3）如圖3，在拋物線上是否存在一點T，過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，使△DNM∽△BMD？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，然后將點B的坐標代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；
（2）設E點坐標為（n，-n²+2n+3），拋物線對稱軸為x=1，根據(jù)2|n-1|=EF，列方程求解；
（3）首先設M的坐標為（a，0），求得BD與DM的長，由平行線分線段成比例定理，求得MN的長，然后由相似三角形對應邊成比例，即可得DM²=BD•MN，則可得到關(guān)于a的一元二次方程，解方程即可求得答案．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-1）²+4，
∵點B的坐標為（3，0）．
∴4a+4=0，
∴a=-1，
∴此拋物線的解析式為：y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3；

（2）設E點坐標為（n，-n²+2n+3），拋物線對稱軸為x=1，
由2（n-1）=EF，得2（n-1）=-（-n²+2n+3）或2（n-1）=-n²+2n+3，
解得n=2±或n=
∵n＞0，
∴n=2+或n=，
邊長EF=2（n-1）=2+2或2-2；

（3）存在．
過點T作x軸的垂線，垂足為點M，過點M作MN∥BD，交線段AD于點N，連接MD，
∵BD==3，設M（c，0），
∵MN∥BD，
∴=，
即=，
∴MN=（1+c），DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需=，即DM²=BD•MN，
可得：9+c²=3×（1+c），
解得：c=或c=3（舍去）．
當x=時，y=-（-1）²+4=．
故存在，點T的坐標為（，）．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行線分線段成比例定理等知識．解題的關(guān)鍵是準確地用點的坐標表示線段的長，根據(jù)圖形的特點，列方程求解，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．