如圖1,△ABC是等腰直角三角形,AC=BC,∠ACB=90°,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,AF⊥l于點(diǎn)F,AE⊥l于點(diǎn)E,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接ED.
(1)求證:△ACF≌△CBE;
(2)求證:AF=BE+DE;
(3)如圖2,將直線l旋轉(zhuǎn)到△ABC的外部,其他條件不變,(2)中的結(jié)論是否仍然成立,如果成立請(qǐng)說(shuō)明理由,如果不成立AF、BE、DE又滿足怎樣的關(guān)系?并說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.
【分析】(1)根據(jù)垂直的定義得到∠BEC=∠ACB=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EBC=∠CAF,即可得到結(jié)論;
(2)如圖1,連接DF,CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD,∠CDB=90°,由全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,CE=AF,推出△BDE≌△CDF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠EDB=∠FDC,DE=DF,根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠EDF=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=DE,于是得到結(jié)論;
(3)不成立,BE+AF=DE,連接CD,DF,由(1)證得△BCE≌△ACF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF,CE=AF,由(2)證得△DEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到EF=DE,即可得到結(jié)論.
【解答】證明:(1)∵BE⊥CE,
∴∠BEC=∠ACB=90°,
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°,
∴∠EBC=∠CAF,
∵AF⊥l于點(diǎn)F,
∴∠AFC=90°,
在△BCE與△ACF中,
,
∴△ACF≌△CBE;
(2)如圖1,連接DF,CD,
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),
∴CD=BD,∠CDB=90°,
∵△ACF≌△CBE,
∴BE=CF,CE=AF,
∵∠EBD=∠DCF,
在△BDE與△CDF中,
,
∴△BDE≌△CDF,
∴∠EDB=∠FDC,DE=DF,
∵∠CDF+∠FDB=90°,∠EDB+∠BDF=90°,
∴∠EDF=90°,
∴△EDF是等腰直角三角形,
∴EF=DE,
∴AF=CE=EF+CF=BE+DE;
(3)不成立,BE+AF=DE,
連接CD,DF,
由(1)證得△BCE≌△ACF,
∴BE=CF,CE=AF,
由(2)證得△DEF是等腰直角三角形,
∴EF=DE,
∵EF=CE+CF=AF+BE=DE.
即AF+BE=DE.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的判定和性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長(zhǎng)的一半,證得△BCE≌△ACF是解題的關(guān)鍵.
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