【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(t,0),B(t+2,0),C(n,1),若射線OC上存在點(diǎn)P,使得△ABP是以AB為腰的等腰三角形,就稱點(diǎn)P為線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn).
(1)如圖,t=0,
①若n=0,則線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的坐標(biāo)是 ;
②若n<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1,求n的取值范圍;
(2)若n=,且射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),則t的取值范圍是 .
【答案】(1)①(0,2) ② (2)﹣4<t≤﹣2或t=0或﹣2<t≤
【解析】
(1)①根據(jù)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的定義可知OP=AB=2,由此即可解決問題.
②如圖2中,當(dāng)OP=AB時(shí),作PH⊥x軸于H.求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),利用圖象法即可解決問題.
(2)如圖3﹣1中,作CH⊥y軸于H.分別以A,B為圓心,AB為半徑作⊙A,⊙B.首先證明∠COH=30°,由射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),推出射線OC與⊙A,⊙B只有一個(gè)交點(diǎn),求出幾種特殊位置t的值,利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可.
解:(1)①如圖1中,由題意A(0,0),B(2,0),C(0,1),
∵點(diǎn)P是線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),
∴OP=AB=2,
∴P(0,2).
故答案為(0,2).
②如圖2中,當(dāng)OP=AB時(shí),作PH⊥x軸于H.
在Rt△POH中,∵PH=OC=1,OP=AB=2
∴OH==,
觀察圖象可知:若n<0,且線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于1時(shí),n<﹣.
(2)如圖3﹣1中,作CH⊥y軸于H.分別以A,B為圓心,AB為半徑作⊙A,⊙B.
由題意C(,1),
∴CH=,OH=1,
∴tan∠COH==,
∴∠COH=30°,
當(dāng)⊙B經(jīng)過原點(diǎn)時(shí),B(﹣2,0),此時(shí)t=﹣4,
∵射線OC上只存在一個(gè)線段AB關(guān)于射線OC的等腰點(diǎn),
∴射線OC與⊙A,⊙B只有一個(gè)交點(diǎn),觀察圖象可知當(dāng)﹣4<t≤﹣2時(shí),滿足條件,
如圖3﹣2中,當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)時(shí),∵∠POB=60°,此時(shí)兩圓的交點(diǎn)P在射線OC上,滿足條件,此時(shí)t=0,
如圖3﹣3中,當(dāng)⊙B與OC相切于P時(shí),連接BP.
∴OC是⊙B的切線,
∴OP⊥BP,
∴∠OPB=90°,
∵BP=2,∠POB=60°,
∴OB==,此時(shí)t=﹣2,
如圖3﹣4中,當(dāng)⊙A與OC相切時(shí),同法可得OA=,此時(shí)t=
觀察圖形可知,滿足條件的t的值為:﹣2<t≤,
綜上所述,滿足條件t的值為﹣4<t≤﹣2或t=0或﹣2<t≤.
故答案為:﹣4<t≤﹣2或t=0或﹣2<t≤.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過點(diǎn)、.
(1)求、滿足的關(guān)系式及的值.
(2)當(dāng)時(shí),若的函數(shù)值隨的增大而增大,求的取值范圍.
(3)如圖,當(dāng)時(shí),在拋物線上是否存在點(diǎn),使的面積為1?若存在,請求出符合條件的所有點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,是的平分線,是射線上一點(diǎn),.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以的速度沿水平向左作勻速運(yùn)動(dòng),與此同時(shí),動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),也以的速度沿豎直向上作勻速運(yùn)動(dòng).連接,交于點(diǎn).經(jīng)過、、三點(diǎn)作圓,交于點(diǎn),連接、.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為,其中.
(1)求的值;
(2)是否存在實(shí)數(shù),使得線段的長度最大?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
(3)求四邊形的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,滑翔運(yùn)動(dòng)員在空中測量某寺院標(biāo)志性高塔“云端塔”的高度,空中的點(diǎn)P距水平地面BE的距離為200米,從點(diǎn)P觀測塔頂A的俯角為33°,以相同高度繼續(xù)向前飛行120米到達(dá)點(diǎn)C,在C處觀測點(diǎn)A的俯角是60°,求這座塔AB的高度(結(jié)果精確到1米).(參考數(shù)據(jù):sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在ABCD中,∠ABC=60°,∠BAD的平分線交CD于點(diǎn)E,交BC的延長線于點(diǎn)F,連接DF.
(1)求證:△ABF是等邊三角形;
(2)若∠CDF=45°,CF=2,求AB的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,點(diǎn). 沿直線折疊矩形,使點(diǎn)落在邊上,與點(diǎn)重合.分別以,所在的直線為軸,軸建立平面直角坐標(biāo)系,拋物線經(jīng)過兩點(diǎn).
(1)求及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿以每秒個(gè)單位長的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng), 同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),沿以每秒個(gè)單位長的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng), 當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒,當(dāng)為何值時(shí),以,,為頂點(diǎn)的三角形與相似?
(3)點(diǎn)在拋物線對稱軸上,點(diǎn)在拋物線上,是否存在這樣的點(diǎn)與點(diǎn) N,使以,,, 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點(diǎn)E,連接CO并延長交AD于點(diǎn)F,且CF⊥AD.
(1)證明:點(diǎn)E是OB的中點(diǎn);
(2)若AB=8,求CD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形的對角線相交于點(diǎn)按下列步驟作圖:①以點(diǎn)為圓心,任意長為半徑作弧,分別交于點(diǎn);②以點(diǎn)為圓心,長為半徑作弧,交于點(diǎn);③點(diǎn)為圓心,以長為半徑作弧,在內(nèi)部交②中所作的圓弧于點(diǎn);④過點(diǎn)作射線交于點(diǎn).,四邊形的面積為( )
A.B.C.D.
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【題目】快車和慢車分別從市和市兩地同時(shí)出發(fā),勻速行駛,先相向而行,慢車到達(dá)市后停止行駛,快車到達(dá)市后,立即按原路原速度返回市(調(diào)頭時(shí)間忽略不計(jì)),結(jié)果與慢車同時(shí)到達(dá)市.快、慢兩車距市的路程、(單位:)與出發(fā)時(shí)間(單位:)之間的函數(shù)圖像如圖所示.
(1)市和市之間的路程是________,圖中____________;
(2)請求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)快車與慢車迎面相遇以后,請直接寫出經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距?
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