Question

如圖：正方形ABCD的邊長是a，點M是AB的中點，CN=CD，P是直線AC上的一點，則|PM-PN|的最大值=    ．

Answer 1

【答案】分析：找出M關(guān)于直線AC的對稱點M′，連接M′N并延長與直線AC交于點Q，若P運動到Q位置時，所求式子最大，此時最大值為M′N的長，理由為：當P在其他位置時，連接PM與PN，及PM′，根據(jù)線段垂直平分線定理得到PM=PM′，在三角形PM′N中，根據(jù)三角形的兩邊之差小于第三邊可得M′N最大，由M為AB中點，根據(jù)對稱性得到M為AD中點，進而表示出M′D的長，再由CN的長表示出DN的長，在直角三角形M′DN中，根據(jù)勾股定理即可表示出M′N的長，即為所求式子的最大值．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示：

作出M關(guān)于直線AC的對稱點M′，連接M′N，并延長M′N與直線AC交于點Q，
當P運動到Q位置時，|PM-PN|=QM′-QN=M′N最大，理由為：
任意在直線AC上取一點P，連接PM，PN，PM′，有PM=PM′，
在△PM′N中，PM-PN=PM′-PN＜M′N，故M′N最大；
由AC為線段MM′的垂直平分線，得到AM=AM′，
又正方形ABCD，得到∠BAD=∠D=90°，且AB=AD=DC=BC=a，
∴△MAM′為等腰直角三角形，又AM=BM=AB=a，
則有AM′=AM=a，且M′D=a，
又CN=a，則有DN=a，
在Rt△M′DN中，
根據(jù)勾股定理得：M′N==a，
則|PM-PN|的最大值為a．
故答案為：a
點評：此題考查了軸對稱-最短路線的問題，涉及的知識有對稱性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系：兩邊之差小于第三邊，正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，利用了數(shù)形結(jié)合的思想．本題的難點為找出所求式子取得最大值時P點的位置，方法是借助圖形作出M關(guān)于直線AC的對稱點M′，延長M′N與直線AC交于點Q，當P運動到Q位置時，|PM-PN|最大，同時要求學(xué)生弄清所求式子取得最大的理論依據(jù)為三角形的兩邊之差小于第三邊．