Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若△ABC的兩邊AB，AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為8，當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,三角形三邊關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）先計(jì)算出△=1，然后根據(jù)判別式的意義即可得到結(jié)論；
（2）先利用公式法求出方程的解為x₁=k，x₂=k+1，然后分類(lèi)討論：AB=k，AC=k+1，當(dāng)AB=BC或AC=BC時(shí)△ABC為等腰三角形，然后求出k的值．

解答：（1）證明：∵△=（2k+1）²-4（k²+k）=1＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+k=0的解為x=

2k+1± 1

2

，即x₁=k，x₂=k+1，
∵k＜k+1，
∴AB≠AC．
當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AB=BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k=8；
當(dāng)AB=k，AC=k+1，且AC=BC時(shí)，△ABC是等腰三角形，則k+1=8，解得k=7，
所以k的值為8或7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及等腰三角形的性質(zhì)．