Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AC＝4，AB＝2，將矩形ABCD繞點A旋轉(zhuǎn)得到矩形AB'C'D'，使點B的對應點B'落在AC上，B'C'交AD于點E，在B'C'上取點F，使B'F＝AB．

（1）求證：AE＝C'E；

（2）求BF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BF＝+．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折疊的性質(zhì)得到一對角相等，利用等角對等邊即可得證；
（2）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，分別利用三角函數(shù)定義求出MF與AM，根據(jù)AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）證明：∵在Rt△ABC中，AC＝2AB，

∴∠ACB＝∠AC′B′＝30°，∠BAC＝60°，

由旋轉(zhuǎn)可得：AB′＝AB，∠B′AC′＝∠BAC＝60°，

∴∠EAC′＝∠AC′B′＝30°，

∴AE＝C′E；

（2）連接AF，過A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B為等邊三角形，

∴∠AFB′＝45°，

∴∠AFM＝30°，∠ABF＝45°，

在Rt△AMF中，AM＝BM＝ABcos∠ABM＝2×，

在Rt△AMF中，MF＝，

則BF＝+．