Question

如圖,已知△ABC的一個外角∠CAM=120°,AD是∠CAM的平分線,且AD與△ABC的外接圓交于F,連接FB、FC,且FC與AB交于E.

(1)判斷△FBC的形狀,并說明理由.

(2)請給出一個能反映AB、AC和FA的數(shù)量關(guān)系的一個等式,并說明你給出的等式成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)△FBC是等邊三角形;(2)AB=AC+FA

【解析】

試題分析：(1)先求得∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,即可得到結(jié)果；

(2)在AB上取一點(diǎn)G,使AG=AC,即可得到△AGC是等邊三角形,再有∠CBG=∠CFA,BC=FC可證得△BCG≌△FCA,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)果.

(1)∠BAF=∠MAD=∠DAC=60°=180°-120°=∠BAC,

∴∠BFC=∠BAC=60°,∠BCF=∠BAF=60°,

∴△FBC是等邊三角形.

(2)在AB上取一點(diǎn)G,使AG="AC,"

則由于∠BAC=60°,故△AGC是等邊三角形,

從而∠BGC=∠FAC=120°,

又∠CBG=∠CFA,BC=FC,

故△BCG≌△FCA,

從而BG=FA,又AG=AC,

∴AC+FA=AG+BG=AB.

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評：輔助線問題是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)，能否根據(jù)具體情況正確作出恰當(dāng)?shù)妮o助線往往能夠體現(xiàn)一個學(xué)生對圖形的理解能力，因而這類問題在中考中比較常見，在各種題型中均有出現(xiàn)，一般難度較大，需多加關(guān)注.