Question

2．在平面直角坐標系中，已知直線AB 與y軸交于點A，與x軸交于點B，與雙曲線y=$\frac{m}{x}$（x＞0）交于點C（1，6）和點D（3，n）．作CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F．
（1）求出m、n的值；
（2）求出直線AB的解析式；
（3）是否有△AEC≌△DFB，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接將C點坐標代入反比例函數(shù)解析式，進而得出m的值，進而求出n的值；
（2）直接利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式；
（3）利用已知解析式求出AE=DF，CE=BF，進而利用全等三角形的判定得出答案．

解答 解：（1）∵點C（1，6）和點D（3，n），
∴依題意得：m=6×1=6，
則n=$\frac{6}{3}$=2，
故m=6，n=2； 

（2）設直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b（k≠0）
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=2}\\{k+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-2x+8；   

（3）有△AEC≌△DFB，理由如下：
∵y=-2x+8
當x=0時，y=8；
當y=0時，-2x+8=0，
解得：x=4；
∴A（0，8），B （4，0），
∵CE⊥y軸于E，DF⊥x軸于F，
∴∠AEC=∠DFB=90°
∵A（0，8），B （4，0）C（1，6），D（3，2），
∴AE=8-6=2，DF=2，CE=1，BF=4-3=1，
∴AE=DF，CE=BF，
在△AEC和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=DF}\\{∠AEC=∠DFB}\\{EC=BF}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DFB（SAS）．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及全等三角形的判定和待定系數(shù)法求出一次函數(shù)、反比例函數(shù)解析式等知識，根據題意利用數(shù)形結合得出AE=DF，CE=BF是解題關鍵．