Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12，動點(diǎn)P從D點(diǎn)出發(fā)沿DC以每秒1個單位的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，動點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB以每秒2個單位的速度向B點(diǎn)運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．
（1）梯形ABCD的面積等于____________；
（2）當(dāng)PQ∥AB時，P點(diǎn)離開D點(diǎn)的時間等于________________秒；
（3）當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，P點(diǎn)離開D點(diǎn)多少時間？

Answer 1

分析：（1）梯形的面積=

1

2

×（上底+下底）×高，要求梯形的面積，已知上、下底的上，值需求出高即可；
（2）作DF∥AB交BC與F，又AB∥DF，即：△CPQ∽△CDF，可以得出邊之間的比例關(guān)系，用t表示出各邊求出t的值．
（3）P、Q、C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，可分為兩種情況：①當(dāng)PQ⊥BC時；②當(dāng)QP⊥DC時，分別求出兩種情況下，點(diǎn)P離開點(diǎn)D的時間即可．

解答：解：（1）如下圖所示：作DE⊥BC于E，

∵四邊形ABCD是梯形，AB=DC=5，
∴CE=

1

2

（BC-AD）=3，
在Rt△DEC中，由勾股定理可得：
DE=

DC2-CE2

=4，
所以，梯形ABCD的面積=

1

2

×（AD+BC）×DE=36．

（2）如下圖所示：作DF∥AB交BC與F，連接PQ，設(shè)t秒后PQ∥AB，

∵AB∥DF，AB∥PQ
∴PQ∥DF，AD=BF=6，
∴△CPQ∽△CDF
∴

PC

CD

=

CQ

CF

，
即：

5-t

5

=

2t

6

，
∴t=

15

8

秒．

（3）當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，有兩種情況：
①當(dāng)PQ⊥BC時，設(shè)P點(diǎn)離開D點(diǎn)t秒，PC=DC-DP=5-t，CQ=2t，作DE⊥BC如下圖所示：

∴PQ∥DE，∴∠CPQ=∠CDE，∠CQP=∠CED，
∴△CPQ∽△CDE，
∴

PC

CD

=

CQ

EC

即：

5-t

5

=

2t

3

∴此時，t=

15

13

秒；

②當(dāng)QP⊥DC時，設(shè)P點(diǎn)離開D點(diǎn)t秒．如下圖所示：

∵∠QPC=∠DEC=90°，∠C=∠C
∴△QPC∽△DEC
∴

PC

EC

=

CQ

CD

即：

5-t

3

=

2t

5

∴此時，t=

25

11

秒，
所以，當(dāng)P、Q、C三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形時，點(diǎn)P離開點(diǎn)D

15

13

秒或

25

11

秒．

點(diǎn)評：本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)，兩腰相等，且底邊上的高=

1

2

|下底-上底|，解題過程中需要注意分類討論的使用．