Question

定義：到四邊形一組對邊距離相等，到另一組對邊的距離也相等的點叫做這個四邊形的準內點．如圖甲，PE=PF，PG=PH，則點P就是四邊形ABCD的準內點．
如圖乙，∠ARD與∠CSD的角平分線相交于點P，根據角平分線的性質可以得出點P是就是四邊形ABCD的準內點．

請你分別畫出平行四邊形（圖1）和梯形（圖2）的準內點，并簡要說明準內點的位置．

畫圖：

   
說明：
（1）    ．

（2）    ．

Answer 1

【答案】分析：如圖（1）只要證得PJ=PH，PG=PI，即可得出結論；通過證明△PEJ≌△PEH和△PGF≌△PIF即可得出；
（2）根據平行四邊形的性質，對角線互相平分，可得出交點即是準內點，根據角平分線的性質定理和梯形中位線的性質定理，可得梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點即為準內點．
解答：解：（1）證明：作PI⊥FD，PJ⊥DE，PG⊥AF，PH⊥EC，
∵EP平分∠DEC，
∴∠PED=∠CEP，
在△PEJ和△PEH中，
∠PED=∠CEP，PE=PE，∠PHE=∠PJE，
∴△PEJ≌△PEH（ASA），
∴PJ=PH，
同理，可證△PGF≌△PIF，
∴PG=PI，
∴點P是四邊形ABCD的準內點；

（2）平行四邊形對角線AC、BD的交點P₁就是準內點，如圖3（1），
或者取平行四邊形兩對邊中點連線的交點P₁就是準內點，如圖3（2），
梯形兩腰夾角的平分線與梯形中位線的交點P₂就是準內點，如圖4．
點評：本題主要考查了多邊形的準內點，用到的知識點是角平分線、中位線的性質定理；可通過證明三角形全等來證得結論，難度適中．