Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在邊BC上，E在線段DC上，DE=4，△DEF是等邊三角形，邊DF交邊AB于點M，邊EF交邊AC于點N．

（1）求證：△BMD∽△CNE；

（2）當BD為何值時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切？

（3）設(shè)BD=x，五邊形ANEDM的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式及自變量x的取值范圍；當x為何值時，y有最大值？并求出y的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）通過證明角相等，從而證明△BMD∽△CNE。

（2）當BD=16﹣8時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切

（3）y=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4）

當x=2時，y有最大值，最大值為．

【解析】

試題分析：（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C=30°，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=∠FED=60°，

∴∠MDB=∠NEC=120°，

∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，

∴△BMD∽△CNE；

（2）過點M作MH⊥BC，

∵以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切，

∴MH=MF，

設(shè)BD=x，

∵△DEF是等邊三角形，

∴∠FDE=60°，

∵∠B=30°，

∴∠BMD=∠FDE﹣∠B=60°﹣30°=30°=∠B，

∴DM=BD=x，

∴MH=MF=DF﹣MD=4﹣x，

在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°===，

解得：x=16﹣8，

∴當BD=16﹣8時，以M為圓心，以MF為半徑的圓與BC相切；

（3）過點M作MH⊥BC于H，過點A作AK⊥BC于K，

∵AB=AC，

∴BK=BC=×8=4，

∵∠B=30°，

∴AK=BK?tan∠B=4×=，

∴S_△ABC=BC?AK=×8×=，

由（2）得：MD=BD=x，

∴MH=MD?sin∠MDH=x，

∴S_△BDM=?x?x=x²，

∵△DEF是等邊三角形且DE=4，BC=8，

∴EC=BC﹣BD﹣DE=8﹣x﹣4=4﹣x，

∵△BMD∽△CNE，

∴S_△BDM：S_△CEN=（）²=，

∴S_△CEN=（4﹣x）²，

∴y=S_△ABC﹣S_△CEN﹣S_△BDM=﹣x²﹣（4﹣x）²=﹣x²+2x+=﹣（x﹣2）²+（0≤x≤4），

當x=2時，y有最大值，最大值為．

考點：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識

點評：中考壓軸題，綜合性較強，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用