Question

以長(zhǎng)為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使PF=PD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上．
（1）求AM，DM的長(zhǎng)；
（2）求證：AM²=AD•DM；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？

Answer 1

分析：（1）由勾股定理求PD，根據(jù)AM=AF=PF-PA=PD-PA，DM=AD-AM求解；
（2）由（1）計(jì)算的數(shù)據(jù)進(jìn)行證明；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得：

AM

AD

=

DM

AM

，根據(jù)黃金分割點(diǎn)的概念，則點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．

解答：（1）解：在Rt△APD中，PA=

1

2

AB=1，AD=2，
∴PD=

AD2+AP2

=

5

，
∴AM=AF=PF-PA=PD-PA=

5

-1，
DM=AD-AM=2-（

5

-1）=3-

5

；

（2）證明：∵AM²=（

5

-1）²=6-2

5

，AD•DM=2（3-

5

）=6-2

5

，
∴AM²=AD•DM；

（2）點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．理由如下：
∵AM²=AD•DM，
∴

AM

AD

═

DM

AM

=

5 -1

2

，
∴點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理和黃金分割的概念．先求得線段AM，DM的長(zhǎng)，然后求得線段AM和AD，DM和AM之間的比，根據(jù)黃金分割的概念進(jìn)行判斷．