Question

已知關于x的方程
（1）求證：無論m取什么實數，這個方程總有兩個相異的實數根；
（2）若這個方程的兩個實數根x₁，x₂滿足|x₂|=|x₁|+2，求m的值及相應的x₁、x₂．

Answer 1

解：（1）∵a=1，b=-（m-2），c=，
∴△=b²-4ac=[-（m-2）²]-4×1×（）
=2m²-4m+4=2（m-1）²+2＞0，
∴方程總有兩個不相等的實數根；

（2）∵a=1，b=-（m-2），c=-，
∴x₁+x₂=m-2，
∵方程總有兩個的實數根
∴x₁•x₂=-≤0，
∴x₁與x₂異號或有一個為0，由|x₂|=|x₁|+2，|x₂|-|x₁|=2，
當x₁≥0，x₂＜0時，-x₂-x₁=2，即-（m-2）=2，解得m=0，
此時，方程為x²+2x=0，解得x₁=0，x₂=-2；
當x₁≤0，x₂＞0時，x₂+x₁=m-2=2，解得m=4，
當m=4時，x²-2x-4=0，
∴x₁=1-，x₂=1+．
分析：（1）根據方程根的判別式判斷根的情況，只要證明判別式△的值恒為正值即可；
（2）|x₂|=|x₁|+2，即|x₂|-|x₁|=2，兩邊平方后再配方得（x₁+x₂）²-4|x₁x₂|=4，再根據根與系數的關系用m表示出兩根的和與兩根的積，代入得到關于m的方程，即可求得m的值．
點評：總結一元二次方程根的情況與判別式△的關系：
（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；
（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；
（3）△＜0?方程沒有實數根．
此題不僅考查了根的判別式的應用，還應用了根與系數的關系以及配方法的運用，增根的判斷．