如圖,已知正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作AE的垂線分別交CD、AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F、G.
求證:BE=BG+FC.
證明:過(guò)點(diǎn)B作GF的平行線交CD于H. ∵ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∠ABC=∠BCD= AB=BC. ∵G在AB延長(zhǎng)線上,H、F在CD上, ∴BG=HF. ∴BG+FC=HF+FC=HC. ∵AE⊥GF,∴BH⊥AE. ∴∠1+∠ABM= ∠2+∠ABM= ∴∠1=∠2. 在△ABE和△BCH中, ∴△ABE≌△BCH. ∴BE=CH. ∴BE=BG+FC. |
由于GF⊥AE,所以若過(guò)點(diǎn)B作GF的平行線交CD于H,則不僅構(gòu)造了全等△ABE和△BCH,而且還將BG平移到FH,將BG+FC轉(zhuǎn)化為一條線段CH,所以只要證明△ABE≌△BCH即可. 證明線段和差的問(wèn)題,經(jīng)常采用截長(zhǎng)補(bǔ)短的作法,此題過(guò)點(diǎn)B作GF的平行線,就在CF上補(bǔ)FH=BG. |
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