Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB在x軸上，AB=10，以AB為直徑的⊙O₁與y軸正半軸交于點(diǎn)C，連接BC、AC，CD是⊙O₁的切線，AD⊥CD于點(diǎn)D，tan∠CAD=，拋物線y=ax²+bx+c過(guò)A、B、C三點(diǎn)．
（1）求證：∠CAD=∠CAB；
（2）求拋物線的解析式；
（3）判斷拋物線的頂點(diǎn)E是否在直線CD上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得出O₁C∥AD，進(jìn)而得出O₁A=O₁C，則∠CAB=∠O₁CA，即可得出答案；
（2）首先得出△CAO∽△BCO，即可得出，再利用OC²=2CO（10-2CO），得出A．B，C交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出拋物線解析式；
（3）首先求出△AOC≌△ADC即可得出AD=AO=8，利用O₁C∥AD，得出△FO₁C∽△FAD，即可求出F點(diǎn)坐標(biāo)，求出CD解析式，再利用E點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式即可得出答案．
解答：（1）證明：連接O₁C，
∵CD是⊙O₁的切線，
∴O₁C⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴O₁C∥AD，
∴∠O₁CA=∠CAD，
∵O₁A=O₁C，
∴∠CAB=∠O₁CA，
∴∠CAD=∠CAB；

（2）解：∵AB是⊙O₁的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵OC⊥AB，
∴∠CAB=∠OCB，
∴△CAO∽△BCO，
∴，
即OC²=OA•OB，
∵tan∠CAO=tan∠CAD=，
∴AO=2CO，
又∵AB=10，
∴OC²=2CO（10-2CO），
∵CO＞0，
∴CO=4，AO=8，BO=2，
∴A（8，0），B（-2，0），C（0，4），
∵拋物線y=ax²+bx+c過(guò)點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)，
∴c=4，
由題意得：，
解得：，
∴拋物線的解析式為：；

（3）解：設(shè)直線DC交x軸于點(diǎn)F，
在△AOC和△ADC中，
，
∴△AOC≌△ADC（AAS），
∴AD=AO=8，
∵O₁C∥AD，
∴△FO₁C∽△FAD，
∴，
∴8（BF+5）=5（BF+10），
∴BF=，F(xiàn)（）；
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+m，則
，
解得： ，
∴直線DC的解析式為y=x+4，
由=得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，），
將E（3，）代入直線DC的解析式y(tǒng)=x+4中，
右邊=×3+4==左邊，
∴拋物線頂點(diǎn)E在直線CD上．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．