Question

已知：如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)為邊BC的中點，DF與對角線AC交于點M，過M作ME⊥CD于點E，∠1=∠2．
求證：AM=DF+ME．

Answer 1

證明：如圖，延長AB交DF的延長線于G，
在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠2=∠G，
∵F為邊BC的中點，
∴BF=CF=BC，
∵在△BFG和△CDF中，
，
∴△BFG≌△CDF（AAS），
∴GF=DF，
又∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，∠2=∠3，
∴MC=MD，MA=MG，
又∵ME⊥CD，
∴CE=CD，
∵菱形的邊BC=CD，
∴CE=CF，
又∵AC是菱形ABCD的對角線，
∴∠3=∠4，
∵在△CEM和△CFM中，
，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
∴AM=MG=GF+MF=DF+ME，
即AM=DF+ME．
分析：延長AB交DF的延長線于G，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠2=∠G，根據(jù)點F為BC的中點得到BF=CF，然后利用“角角邊”證明△BFG和△CDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=DF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠3，然后求出∠1=∠G，∠2=∠3，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得MC=MD，MA=MG，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)求出CE=CD，然后求出CE=CF，再利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=MF，即可得證．
點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，遇到中點延長一倍，是常見的輔助性作法，也是本題解題的關(guān)鍵．