Question

如圖，拋物線y=﹣x²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；

（2）求△ABD的面積；

（3）將△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由．

　

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專題】代數(shù)幾何綜合題．

【分析】（1）在矩形OCEF中，已知OF、EF的長(zhǎng)，先表示出C、E的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法確定該函數(shù)的解析式．

（2）根據(jù)（1）的函數(shù)解析式求出A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)，以AB為底、D點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高，可求出△ABD的面積．

（3）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可．

【解答】解：（1）∵四邊形OCEF為矩形，OF=2，EF=3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，3）．

把x=0，y=3；x=2，y=3分別代入y=﹣x²+bx+c中，

得，

解得，

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y=﹣x²+2x+3；

 

（2）∵y=﹣x²+2x+3=﹣（x﹣1）²+4，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4），

∴△ABD中AB邊的高為4，

令y=0，得﹣x²+2x+3=0，

解得x₁=﹣1，x₂=3，

所以AB=3﹣（﹣1）=4，

∴△ABD的面積=×4×4=8；

 

（3）△AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，CO落在CE所在的直線上，由（2）可知OA=1，

∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，2），

當(dāng)x=3時(shí)，y=﹣3²+2×3+3=0≠2，所以點(diǎn)G不在該拋物線上．

【點(diǎn)評(píng)】這道函數(shù)題綜合了圖形的旋轉(zhuǎn)、面積的求法等知識(shí)，考查的知識(shí)點(diǎn)不多，難度適中．