Question

【題目】如圖，已知E,F分別為正方形ABCD的邊AB，BC的中點，AF與DE交于點M，O為BD的中點，則下列結論：①∠AME=90°；②∠BAF=∠EDB；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM=MF.其中正確結論的是（ ）

A. ①③④ B. ②④⑤ C. ①③④⑤ D. ①③⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】根據正方形的性質可得AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°，再根據中點定義求出AE=BF，然后利用“邊角邊”證明△ABF和△DAE全等，根據全等三角形對應角相等可得∠BAF=∠ADE，然后求出∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，從而求出∠AMD=90°，再根據鄰補角的定義可得∠AME=90°，從而判斷①正確；根據中線的定義判斷出∠ADE≠∠EDB，然后求出∠BAF≠∠EDB，判斷出②錯誤；根據直角三角形的性質判斷出△AED、△MAD、△MEA三個三角形相似，利用相似三角形對應邊成比例可得===2，然后求出MD=2AM=4EM，判斷出④正確，設正方形ABCD的邊長為2a，利用勾股定理列式求出AF，再根據相似三角形對應邊成比例求出AM，然后求出MF，消掉a即可得到AM=MF，判斷出⑤正確；過點M作MN⊥AB于N，求出MN、NB，然后利用勾股定理列式求出BM，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，然后求出OK、MK，再利用勾股定理列式求出MO，根據正方形的性質求出BO，然后利用勾股定理逆定理判斷出∠BMO=90°，從而判斷出③正確．

在正方形ABCD中，AB=BC=AD，∠ABC=∠BAD=90°．

∵E、F分別為邊AB，BC的中點，∴AE=BF=BC．在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴∠BAF=∠ADE．

∵∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠ADE+∠DAF=∠BAD=90°，∴∠AMD=180°﹣（∠ADE+∠DAF）=180°﹣90°=90°，∴∠AME=180°﹣∠AMD=180°﹣90°=90°，故①正確；

∵DE是△ABD的中線，∴∠ADE≠∠EDB，∴∠BAF≠∠EDB，故②錯誤；

∵∠BAD=90°，AM⊥DE，∴△AED∽△MAD∽△MEA，∴===2，∴AM=2EM，MD=2AM，∴MD=2AM=4EM，故④正確；

設正方形ABCD的邊長為2a，則BF=a．在Rt△ABF中，AF===a．

∵∠BAF=∠MAE，∠ABC=∠AME=90°，∴△AME∽△ABF，∴=，即=，解得AM=a，∴MF=AF﹣AM=a﹣a=a，∴AM=MF，故⑤正確；

如圖，過點M作MN⊥AB于N，則==，即==，解得MN=a，AN=a，∴NB=AB﹣AN=2a﹣a=a，根據勾股定理，BM===a，過點M作GH∥AB，過點O作OK⊥GH于K，則OK=a﹣a=a，MK=a﹣a=a．在Rt△MKO中，MO===a，根據正方形的性質，BO=2a×=a．

∵BM2+MO2=（a）2+（a）2=2a2，BO2=（a）2=2a2，∴BM2+MO2=BO2，∴△BMO是直角三角形，∠BMO=90°，故③正確；

綜上所述：正確的結論有①③④⑤．

故選C．