Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），已知點(diǎn)E（m，0）是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得以P、B、G為頂點(diǎn)的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時(shí)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）PG＝﹣m2﹣3m，（3）m＝﹣2

【解析】

（1）將A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線與直線BC的交點(diǎn)為（﹣2，4）（0，4），得出點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，m的取值范圍，再根據(jù)P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），求出PG＝﹣m2﹣m；

（3）先求出直線BD的解析式，進(jìn)而求出H的坐標(biāo)，然后分兩種情況和進(jìn)行討論即可.

解：（1）∵點(diǎn)A和點(diǎn)B在拋物線上, 將A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得

解得

∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）∵4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝﹣3或0，

∴拋物線與直線BC的交點(diǎn)為（﹣3，4）（0，4），

∴點(diǎn)P在直線BC上方時(shí)，m的取值范圍是：﹣3＜m＜0，

∵E（m，0），B（0，4），

∵PE⊥x軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，

∴P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），

∴PG＝﹣m2﹣3m+4﹣4＝﹣m2﹣3m，

（3）∵y＝﹣x2﹣3x+4；

∴當(dāng)y=0時(shí)，或-4

設(shè)直線BD的解析式為

將B,D兩點(diǎn)代入中，得

解得

∴直線BD的解析式為

①若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

②若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

綜上所述，m＝﹣2