Question

如圖，矩形ABCD中，點P在邊CD上，且與點C、D不重合，過點A作AP的垂線與CB的延長線相交于點Q，連接PQ，PQ的中點為M．

(1)求證：△ADP∽△ABQ；

(2)若AD＝10，AB＝20，點P在邊CD上運動，設(shè)DP＝x，BM ²＝y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求線段BM長的最小值；

(3)若AD＝10，AB＝a，DP＝8，隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化，當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形 　　∴∠ADP＝∠ABC＝∠BAD＝90° 　　∵∠ABC＋∠ABQ＝180° 　　∴∠ABQ＝∠ADP＝90° 　　∵AQ⊥AP 　　∴∠PAQ＝90° 　　∴∠QAB＋∠BAP＝90° 　　又∵∠PAD＋∠BAP＝90° 　　∴∠PAD＝∠QAB 　　在△ADP與△ABQ中 　　∵ 　　∴△ADP∽△ABQ 　　(2)如圖，作MN⊥QC，則∠QNM＝∠QCD＝90°] 　　又∵∠MQN＝∠PQC 　　∴△MQN∽△PQC 　　∴ 　　∵點M是PQ的中點 　　∴ 　　∴ 　　又∵ 　　∴ 　　 　　∵△ADP∽△ABQ 　　∴　 　　∴ 　　∵ 　　∴ 　　在Rt△MBN中，由勾股定理得： 　　即： 　　當即時，線段BM長的最小值． 　　(3)如圖，當點PQ中點M落在AB上時，此時QB＝BC＝10 　　由△ADP∽△ABQ得解得： 　　∴隨著a的大小的變化，點M的位置也在變化， 　　當點M落在矩形ABCD外部時，求a的取值范圍為：a＞12.5