Question

如圖-1，OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4．
（1）在OC邊上取一點(diǎn)D，將紙片沿AD翻折，使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處，求D，E兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖-2，若AE上有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A，E重合）自A點(diǎn)沿AE方向向E點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（），過(guò)P點(diǎn)作ED的平行線交AD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作AE的平行線交DE于點(diǎn)N．求四邊形PMNE的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)t取何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，以A，M，E為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）依題意可知，折痕是四邊形的對(duì)稱軸， ∴在中，，． ． ． ∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，4）． 在中，， 又．  ． 解得：． 點(diǎn)坐標(biāo)為 （2）如圖①，． ，又知，，， ．又 而顯然四邊形為矩形． 又 ∴當(dāng)時(shí)，有最大值． （3）（i）若以為等腰三角形的底，則（如圖①） 在中，， ， ∴P為的中點(diǎn)， 又， ∴M為的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)M作，垂足為F，則是的中位線， ，， ∴當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形． 此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為． （ii）若以AE為等腰三角形的腰，則（如圖②） 在中，． 過(guò)點(diǎn)M作，垂足為F． ， ． ． ， ． ， ， ∴當(dāng)時(shí)，（），此時(shí)點(diǎn)M坐標(biāo)為． 綜合（i）（ii）可知，或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形， 相應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為或．