Question

如圖a，P為△ABC內(nèi)任一點，試證明∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A．

　　　　　　  

變式一　如圖，若點P為△ABC兩角∠ABC和∠ACB的平分線的交點，則∠BPC和∠A有怎樣的關(guān)系?

變式二　如圖，“變式一”已知不動，另補(bǔ)上“若點Q是它們外角平分線的交點”，則∠BPC和∠Q有何關(guān)系?

變式三　一個零件的形狀如圖所示，按規(guī)定∠A應(yīng)等于90°，∠B、∠C分別是21°和32°．檢驗工人量得∠BDC=148°．就斷定這個零件不合格，這是為什么?

Answer 1

答案：略
解析：

證明 　 如上圖b，延長BP交AC于點D． ∵∠PDC是△ABD的一個外角， ∴∠PDC=∠A＋∠ABP． 同理　∠BPC=∠PDC＋∠ACP． ∴∠BPC=∠ABP＋∠ACP＋∠A． 變式一 解 　 由已知，得∠1=∠ABC，∠2=∠ACB． 在△BPC中，∠1＋∠2＋∠BPC=180°． ∴∠BPC=180°－(∠ABC＋∠ACB)． 在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＋∠A=180°． ∴ 　　　　 變式二 解 　 由“變式一”可知：∠BPC=90°＋∠A， 易知：∠Q=90°－∠A，故∠BPC＋∠Q= ∠BPC＋∠Q=180° 變式三 解 　 連接BC，點D是△ABC內(nèi)任一點，則∠BDC=∠ABD＋∠ACD＋∠A，本題就是因為，故判定這個零件不合格．

提示：

∠BPC與∠ABP、∠ACP、∠A這三個角既不在同一個三角形中，又不存在對頂角、鄰補(bǔ)角、外角等關(guān)系，已知條件很簡單、難以直接得出別的結(jié)論，所以應(yīng)考慮作輔助線，使這些角發(fā)生聯(lián)系． 由圖形中四個角的位置特點和所說明等式特點想到“三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角和”的性質(zhì)，故延長BP交AC于點D，于是有∠BPC=∠ACP＋∠PDC，又∠PDC=∠A＋∠ABP．從而問題得以解決． 由已知條件和所求部分，應(yīng)想到∠BPC與∠1、∠2的關(guān)系：∠BPC=180°－(∠1＋∠2)． 而∠1=∠ABC，∠2=∠ACB． 到此應(yīng)想到∠ABC、∠ACB與∠A的關(guān)系：∠ABC＋∠ACB＋∠A=180°．