Question

如圖所示，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于點E，已知AB=12cm，BC=15，則S_△ABC=

54cm²

，DE的長是

4

cm．

Answer 1

分析：利用勾股定理列式求出AC的長，再根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計算即可得解；
根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得AD=DE，再利用“HL”證明Rt△ABD和Rt△EBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等求出BE，設(shè)DE的長為x，然后表示出CD、CE，在Rt△CDE中，利用勾股定理列式求解即可．

解答：解：∵∠A=90°，AB=12cm，BC=15，
∴AC=

BC2-AB2

=

152-122

=9，
∴S_△ABC=

1

2

AB•AC=

1

2

×12×9=54cm²；

∵BD平分∠ABC，∠A=90°，DE⊥BC，
∴AD=DE，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，

BD=BD AD=DE

，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴BE=AB=12cm，
設(shè)DE=x，則CD=9-x，CE=15-12=3，
在Rt△CDE中，DE²+CE²=CD²，
即x²+3²=（9-x）²，
整理得，18x=72，
解得x=4cm．
故答案為：54cm²，4．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，第二問轉(zhuǎn)化到同一個直角三角形中利用勾股定理列式是解題的關(guān)鍵．