【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2-2ax+ca≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).

1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;

2)寫出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)QQEAC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);

4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】1y=-x2+x+4;(2)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1);(3Q點(diǎn)坐標(biāo)為(10);(4)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1+,2)或P1-2)或P1+,3)或P1-,3).

【解析】

1)根據(jù)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;

2)根據(jù)配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可;

3)利用相似三角形的性質(zhì)得出SCQE=x×4-x2=-x2+2x,進(jìn)而求出即可;

4)利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時(shí)以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)OF=OD時(shí)分別得出F點(diǎn)的坐標(biāo),將縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).

1)∵點(diǎn)C0,4),

c=4

∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),

0=16a-8a+4

a=-,

y=-x2+x+4;

2y=-x2+x+4

=-x2-2x+4,

=- [x2-2x+1-1]+4

=-x-12+,

∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,);

3)∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(40),

B-2,0,),AB=6

SABC=×6×4=12,

設(shè)BQ=x

EQAC,

∴△BEQ∽△BCA,

∴(2=,

SBEQ=

SCQE=x×4-=-+2x,

當(dāng)x=-=3時(shí),CQE面積最大,

Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);

4)存在,

ODF中,

①若DO=DF,∵A4,0),D2,0),

AD=OD=DF=2,

又∵在RtAOC中,OA=OC=4,

∴∠OAC=45°,

∴∠DFA=OAC=45°

∴∠ADF=90°,此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(2,2),

-x2+x+4=2

解得:x1=1+,x2=1-,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1+,2)或P1-2);

②若FO=FD,過點(diǎn)FFMx軸于點(diǎn)M

由等腰三角形的性質(zhì)得出:

OM=OD=1,

AM=3,

∴在等腰三角形AMF中,MF=MA=3,

F1,3),

-x2+x+4=3

解得:x1=1+,x2=1-,

此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1+,3)或P1-,3);

③若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°

AC=4,

∴點(diǎn)OAC的距離為2,而OF=OD=22,

∴此時(shí),不存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形.

綜上所述:存在這樣的直線l,使得ODF是等腰三角形,所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P1+,2)或P1-,2)或P1+,3)或P1-,3).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)對(duì)該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查,從全年365天中隨機(jī)抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)數(shù)據(jù),繪制出三幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:

AQI指數(shù)

質(zhì)量等級(jí)

天數(shù)(天)

0-50

優(yōu)

m

51-100

44

101-150

輕度污染

n

151-200

中度污染

4

201-300

重度污染

2

300以上

嚴(yán)重污染

2

1)統(tǒng)計(jì)表中m= ,n= ,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,空氣質(zhì)量等級(jí)為的天數(shù)占 %;

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并通過計(jì)算估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為優(yōu)的天數(shù)共多少?

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【題目】如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)PPEOB,交OB 于點(diǎn)E,點(diǎn)D在∠AOB內(nèi),且滿足∠DPA=OPE,DP+PE=6.

1)當(dāng)DP=PE時(shí),求DE的長;

2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得的值不變?并證明你的判斷.

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【題目】如圖所示,某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡(山坡視為直線l)上修一條路,需要測量山坡的坡度,即tanα的值.測量員在山坡P處(不計(jì)此人身高)觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔,測得塔尖C的仰角為37°,塔底B的仰角為26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi),求山坡的坡度.(參考數(shù)據(jù)sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)

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【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)E在斜邊AB上,以AE為直徑的⊙OBC邊相切于點(diǎn)D,連結(jié)AD.

1)求證:AD是∠BAC的平分線;

2)若AC=3,BC=4,求⊙O的半徑.

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【題目】某校七年級(jí)共有500名學(xué)生,在世界讀書日前夕,開展了閱讀助我成長的讀書活動(dòng).為了解該年級(jí)學(xué)生在此次活動(dòng)中課外閱讀情況,童威隨機(jī)抽取m名學(xué)生,調(diào)查他們課外閱讀書籍的數(shù)量,將收集的數(shù)據(jù)整理成如下統(tǒng)計(jì)表和扇形圖.

學(xué)生讀書數(shù)量統(tǒng)計(jì)表

閱讀量/

學(xué)生人數(shù)

1

15

2

a

3

b

4

5

(1)直接寫出m、a、b的值;

(2)估計(jì)該年級(jí)全體學(xué)生在這次活動(dòng)中課外閱讀書籍的總量大約是多少本?

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【題目】(發(fā)現(xiàn))x45x2+40是一個(gè)一元四次方程.

(探索)根據(jù)該方程的特點(diǎn),通常用“換元法”解方程:

設(shè)x2y,那么x4y2,于是原方程可變?yōu)?/span>   

解得:y11,y2   

當(dāng)y1時(shí),x21,∴x=±1

當(dāng)y   時(shí),x2   ,∴x   

原方程有4個(gè)根,分別是   

(應(yīng)用)仿照上面的解題過程,求解方程:

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若AB=6,AF=4EF,求CG的值與∠AFB的度數(shù).

他的做法是:過點(diǎn)EEH∥ABBG于點(diǎn)H,得到△BAF∽△HEF(如圖2).

1CG等于多少,∠AFB等于多少度;

參考小明思考問題的方法,解決下列問題;

2)如圖3,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若AF=3EF,求的值;

3)如圖4,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),BFDE相交于點(diǎn)G,且AB=kAD,∠DAG=∠BAC,求出的值(用含k的式子表示)

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【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+cx軸交于點(diǎn)AB(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),過MMNy軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;

(3)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),F是拋物線上一點(diǎn),是否存在以A,B,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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