【題目】已知:如圖,二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a≠0)的圖象與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式;
(2)寫出該二次函數(shù)的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P,與直線AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問:是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)y=-x2+x+4;(2)二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,);(3)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);(4)存在,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,2)或P(1-,2)或P(1+,3)或P(1-,3).
【解析】
(1)根據(jù)A,C兩點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可;
(2)根據(jù)配方法求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸即可;
(3)利用相似三角形的性質(zhì)得出S△CQE=x×4-x2=-x2+2x,進(jìn)而求出即可;
(4)利用圖象以及等腰三角形的性質(zhì)假設(shè)若DO=DF時(shí)以及當(dāng)FO=FD和當(dāng)OF=OD時(shí)分別得出F點(diǎn)的坐標(biāo),將縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可求出P點(diǎn)坐標(biāo).
(1)∵點(diǎn)C(0,4),
∴c=4,
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),
∴0=16a-8a+4,
∴a=-,
∴y=-x2+x+4;
(2)y=-x2+x+4
=-(x2-2x)+4,
=- [(x2-2x+1)-1]+4,
=-(x-1)2+,
∴該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(1,);
(3)∵二次函數(shù)的對(duì)稱軸為:直線x=1,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0),
∴B(-2,0,),AB=6,
S△ABC=×6×4=12,
設(shè)BQ=x,
∵EQ∥AC,
∴△BEQ∽△BCA,
∴()2=,
∴S△BEQ=,
∴S△CQE=x×4-=-+2x,
當(dāng)x=-=3時(shí),△CQE面積最大,
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0);
(4)存在,
在△ODF中,
①若DO=DF,∵A(4,0),D(2,0),
∴AD=OD=DF=2,
又∵在Rt△AOC中,OA=OC=4,
∴∠OAC=45°,
∴∠DFA=∠OAC=45°,
∴∠ADF=90°,此時(shí),點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(2,2),
由-x2+x+4=2,
解得:x1=1+,x2=1-,
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,2)或P(1-,2);
②若FO=FD,過點(diǎn)F作FM⊥x軸于點(diǎn)M,
由等腰三角形的性質(zhì)得出:
OM=OD=1,
∴AM=3,
∴在等腰三角形△AMF中,MF=MA=3,
∴F(1,3),
由-x2+x+4=3,
解得:x1=1+,x2=1-,
此時(shí),點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,3)或P(1-,3);
③若OD=OF,∵OA=OC=4,且∠AOC=90°,
∴AC=4,
∴點(diǎn)O到AC的距離為2,而OF=OD=2<2,
∴此時(shí),不存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形.
綜上所述:存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形,所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為:P(1+,2)或P(1-,2)或P(1+,3)或P(1-,3).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校環(huán)保志愿者協(xié)會(huì)對(duì)該市城區(qū)的空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)查,從全年365天中隨機(jī)抽取了80天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)數(shù)據(jù),繪制出三幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表,請(qǐng)根據(jù)圖表中提供的信息解答下列問題:
AQI指數(shù) | 質(zhì)量等級(jí) | 天數(shù)(天) |
0-50 | 優(yōu) | m |
51-100 | 良 | 44 |
101-150 | 輕度污染 | n |
151-200 | 中度污染 | 4 |
201-300 | 重度污染 | 2 |
300以上 | 嚴(yán)重污染 | 2 |
(1)統(tǒng)計(jì)表中m= ,n= ,扇形統(tǒng)計(jì)圖中,空氣質(zhì)量等級(jí)為“良”的天數(shù)占 %;
(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖,并通過計(jì)算估計(jì)該市城區(qū)全年空氣質(zhì)量等級(jí)為“優(yōu)”和“良”的天數(shù)共多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠AOB=60°,點(diǎn)P為射線OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PE⊥OB,交OB 于點(diǎn)E,點(diǎn)D在∠AOB內(nèi),且滿足∠DPA=∠OPE,DP+PE=6.
(1)當(dāng)DP=PE時(shí),求DE的長;
(2)在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中,請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得的值不變?并證明你的判斷.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,某工程隊(duì)準(zhǔn)備在山坡(山坡視為直線l)上修一條路,需要測量山坡的坡度,即tanα的值.測量員在山坡P處(不計(jì)此人身高)觀察對(duì)面山頂上的一座鐵塔,測得塔尖C的仰角為37°,塔底B的仰角為26.6°.已知塔高BC=80米,塔所在的山高OB=220米,OA=200米,圖中的點(diǎn)O、B、C、A、P在同一平面內(nèi),求山坡的坡度.(參考數(shù)據(jù)sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50;sin37°≈0.60,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)E在斜邊AB上,以AE為直徑的⊙O與BC邊相切于點(diǎn)D,連結(jié)AD.
(1)求證:AD是∠BAC的平分線;
(2)若AC=3,BC=4,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校七年級(jí)共有500名學(xué)生,在“世界讀書日”前夕,開展了“閱讀助我成長”的讀書活動(dòng).為了解該年級(jí)學(xué)生在此次活動(dòng)中課外閱讀情況,童威隨機(jī)抽取m名學(xué)生,調(diào)查他們課外閱讀書籍的數(shù)量,將收集的數(shù)據(jù)整理成如下統(tǒng)計(jì)表和扇形圖.
學(xué)生讀書數(shù)量統(tǒng)計(jì)表
閱讀量/本 | 學(xué)生人數(shù) |
1 | 15 |
2 | a |
3 | b |
4 | 5 |
(1)直接寫出m、a、b的值;
(2)估計(jì)該年級(jí)全體學(xué)生在這次活動(dòng)中課外閱讀書籍的總量大約是多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(發(fā)現(xiàn))x4﹣5x2+4=0是一個(gè)一元四次方程.
(探索)根據(jù)該方程的特點(diǎn),通常用“換元法”解方程:
設(shè)x2=y,那么x4=y2,于是原方程可變?yōu)?/span> .
解得:y1=1,y2= .
當(dāng)y=1時(shí),x2=1,∴x=±1;
當(dāng)y= 時(shí),x2= ,∴x= ;
原方程有4個(gè)根,分別是 .
(應(yīng)用)仿照上面的解題過程,求解方程:.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】閱讀下面材料:
小明遇到這樣一個(gè)問題:如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若AB=6,AF=4EF,求CG的值與∠AFB的度數(shù).
他的做法是:過點(diǎn)E作EH∥AB交BG于點(diǎn)H,得到△BAF∽△HEF(如圖2).
(1)CG等于多少,∠AFB等于多少度;
參考小明思考問題的方法,解決下列問題;
(2)如圖3,在矩形ABCD中,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn),BF的延長線交射線CD于點(diǎn)G,若AF=3EF,求的值;
(3)如圖4,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn),BF和DE相交于點(diǎn)G,且AB=kAD,∠DAG=∠BAC,求出的值(用含k的式子表示)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A和B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M是拋物線上在x軸下方的動(dòng)點(diǎn),過M作MN∥y軸交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN的最大值;
(3)E是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn),F是拋物線上一點(diǎn),是否存在以A,B,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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