Question

如圖，已知CP為⊙O的直徑，AC切⊙O于點C，AB切⊙O于點D，并與CP的延長線相交于點B，連接PD，CD，又BD=2BP，∠BDP=∠DCP．
求證：（1）PC=3PB；（2）AC=PC．

Answer 1

分析：（1）由∠BDP=∠DCP可得AD也是圓的切線，再由切線的性質(zhì)即可求證PC與PB的關(guān)系；
（2）由△BOD∽△BAC，得出對應邊成比例，進而即可得出結(jié)論．

解答：證明：（1）∵PC是直徑，
∴∠PDC=90°，∴∠BDP+∠ADC=90°，
又∠BDP=∠DCP，
∴∠ADC=∠ACD，即AC=AD，
∴AD也是⊙O的切線，
∴BD²=BP•BC，
∵BD=2BP，即4BP²=BP•BC，
∴BC=4BP，即PC=3BP；

（2）連接OD，則OD⊥AB，
則△BOD∽△BAC，BD=2BP，BC=4BP，
∴

OD

AC

=

BD

BC

=

2BP

4BP

=

1

2

，即AC=2OD，
∴AC=PC．

點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握．