如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C的切線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，AE⊥DC交DC于點(diǎn)E．
（1）求證：AC是∠EAB的平分線；
（2）若BD=2，DC=4，求AE和BC的長(zhǎng)．
（1）證明：如圖，連接OC，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE．
又∵AE⊥DE，
∴OC∥AE．
∴∠EAC=∠OCA．
又∵OC=OA，
∴∠OAC=∠OCA．
∴∠EAC=∠OAC．
∴AC是∠EAB的平分線．

（2）∵CD是⊙O的切線，
∴DC2=DB•DA，即42=2•DA．
解得DA=8，∴AB=6．
由（1）知，OC∥AE，
∴△DCO∽△DEA．
∴
OC
AE
=
DO
DA
．
即
3
AE
=
5
8
．
解得AE=
24
5
．
∵DC是⊙O的切線，
∴∠DCB=∠DAC，又∠D=∠D．
∴△DCB∽△DAC．
∴
CB
AC
=
DC
DA
=
4
8
=
1
2
．
∴AC=2CB．
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2+BC2=AB2，即（2BC）2+（BC）2=62
解得BC=
6
5
5
．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在△ABC中，AB=AC，O在AB上，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AC相切于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)G，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．
（1）DE與⊙O有什么位置關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并證明；
（2）若⊙O的半徑長(zhǎng)為3，AF=4，求CE的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，割線ABC與⊙O相交于B、C兩點(diǎn)，D為⊙O上一點(diǎn)，E為弧BC的中點(diǎn)，OE交BC于F，DE交AC于G，∠ADG=∠AGD．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）如果AB=2，AD=4，EG=2，求⊙O的半徑．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，⊙O的圓心在Rt△ABC的直角邊AC上，⊙O經(jīng)過(guò)C、D兩點(diǎn)，與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接BO、ED，有BO∥ED，作弦EF⊥AC于G，連接DF．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，sin∠DFE=
3
5
，求EF的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，OA、OB是⊙O的半徑，OA⊥OB，C為OB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)D，E為AD與OC的交點(diǎn)，連接OD．已知CE=5，求線段CD的長(zhǎng)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知：如圖，直線EF與⊙O相切于點(diǎn)C，AB是⊙O的直徑，且BC=3，Ac=4．
（1）求半徑OC的長(zhǎng)；
（2）在切線EF上找一點(diǎn)M，使得以B、M、C為頂點(diǎn)的三角形與△ACO相似．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，延長(zhǎng)⊙O的半徑OA到B，使OA=AB，DE是圓的一條切線，E是切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作DE的垂線，垂足為點(diǎn)C．
求證：∠ACB=
1
3
∠OAC．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，在△AOB中，OA=OB，∠A=30°，⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)E分別交OA、OB于C、D兩點(diǎn)，連接CD．
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）求證：AB∥CD．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知∠BAC=45°，一動(dòng)點(diǎn)O在射線AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)O與點(diǎn)A不重合），設(shè)OA=x，如果半徑為1的⊙O與射線AC有公共點(diǎn)，那么x的取值范圍是（　�。�
A．0＜x≤
2
B．l＜x≤
2
C．1≤x＜
2
D．x＞
2

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