Question

已知等腰三角形ABC的兩個頂點分別是A（0，1），B（0，3），第三個頂點C在x軸的正半軸上，關(guān)于y軸對稱的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A，D（3，-2）．
（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式并判斷點C是否在拋物線上；
（3）設(shè)點P在（2）中的拋物線上，且點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵A（0，1），B（0，3），
∴AB=2，
∵△ABC是等腰三角形，且點C在x軸的正半軸上，
∴AC=AB=2，
∴OC==．
∴C（，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，
∴k+3=0，
∴k=-．
∴直線BC的解析式為y=-x+3；

（2）∵拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱，
∴b=0．
又∵拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，1），D（3，-2），兩點．
∴解得
∴拋物線的解析式是y=-x²+1．
∵C（，0），
∴當(dāng)x=時，y=0，
∴點C在拋物線上；

（3）在Rt△AOC中，
∵OA=1，AC=2，
∴∠ACO=30°．
在Rt△BOC中，
∵OB=3，OC=，
∴∠BCO=60°．
∴CA是∠BCO的角平分線．
∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對稱．
點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點．
Q點P在直線BC：y=-x+3上，
故設(shè)點P的坐標(biāo)是（x，-x+3）．
又∵點P（x，-x+3）在拋物線y=-x²+1上，
∴-+3=-x²+1．解得x₁=，x₂=2．
故所求的點P的坐標(biāo)是P₁（，0），P₂（，-3）．
分析：（1）先根據(jù)A、B兩點的坐標(biāo)求出AB的長，再根據(jù)勾股定理得出OC的長，故可得出C點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；
（2）由于拋物線y=ax²+bx+c關(guān)于y軸對稱，所以b=0．再由拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（0，1），D（3，-2），兩點可得出拋物線的解析式，把C點橫坐標(biāo)代入即可檢驗出C點是否在拋物線上；
（3）先根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ACO及∠BCO的度數(shù)，故可得出CA是∠BCO的角平分線，即直線BC與x軸關(guān)于直線AC對稱．因為點P關(guān)于直線AC的對稱點在x軸上，則符合條件的點P就是直線BC與拋物線y=-x²+1的交點，設(shè)出點P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式即可得出結(jié)論．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到勾股定理、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式及用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式等知識，難度適中．